Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
ho tentato di risolvere questi problemi (Moduli Blu di Matematica, pag 97p, n.15 e n.16):
1) Una piramide ha per base un rettangolo le cui diagonali hanno misura \(a\) e si incontrano nella proiezione del vertice sul piano di base. L’angolo che le diagonali formano col lato maggiore della base è \(\alpha\), l’angolo che lo spigolo laterale forma con la diagonale è \(\beta\).
a) Calcola il volume della piramide.
b) Determina il raggio della sfera circoscritta alla piramide.
2) Una piramide ha per base il triangolo \(ABC\), isoscele e rettangolo in \(A\), ed ha per altezza il segmento \(AV\). Inoltre la faccia \(VBC\) forma un angolo di \(45^\circ \) col piano della base e lo spigolo è lungo \(2h\sqrt{3}\), dove \(h\) è una lunghezza nota. Calcolare la distanza dal vertice \(A\) dal piano della faccia \(VBC\) e trovare per quale valore di \(h\) tale distanza vale \(4\sqrt{2}\). Verificato che questo valore di \(h\) è \(4\), con riferimento ad esso secare la piramide con un piano parallelo alla base \(ABC\) e, proiettato ortogonalmente il triangolo sezione sulla base stessa, esprimere il volume del prisma triangolare così ottenuto in funzione della sua altezza \(x\).
(Esame di maturità scientifica 1994, sessione ordinaria)
Ho tentato ma invano, trovo difficoltà a disegnare le figure. Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, con riferimento alla figura, ricaviamo in termini di \(\alpha\) e \(\beta\) gli elementi della piramide:
\[AB=DC=a\sin \alpha \quad BC=AD=a\cos \alpha \quad VM=AM\tan \beta =\frac{a}{2}\tan \beta \]
per cui il volume \(V\) della piramide è dato da: \(V=\frac{{{a}^{3}}}{6}\tan \beta \sin \alpha \cos \alpha =\frac{{{a}^{3}}}{12}\tan \beta \sin 2\alpha\). Il raggio \(r=OC\) della sfera circoscritta è il raggio della circonferenza circoscritta al triangolo isoscele \(ACV\). Poiché l’angolo al centro \(V\hat{O}C\) sottende la stessa corda \(VC\) dell’angolo alla circonferenza \(V\hat{A}C=\beta\), si ha \(V\hat{O}C=2\beta\), e quindi \(\frac{a}{2}=MC=r\sin 2\beta\), da cui \(r=\frac{a}{2\sin 2\beta }\).
Nel secondo caso, con riferimento alla figura e in base alle ipotesi, si ricava che:
\[AV=AM=\frac{AB}{\sqrt{2}}\Rightarrow 12{{h}^{2}}=V{{B}^{2}}=A{{V}^{2}}+2A{{V}^{2}}\Rightarrow AV=AM=2h\Rightarrow AK=h\sqrt{2}\ .\]
Pertanto, \(AK=4\sqrt{2}\Leftrightarrow h=4\). Posto \(AA’=x\), da cui \(VA’=8-x\), si deduce la proporzione: \({{S}_{A'B'C'}}:{{\left( 8-x \right)}^{2}}={{S}_{ABC}}:64\), da cui, essendo \({{S}_{ABC}}=64\), si ricava \({{S}_{A'B'C'}}={{S}_{A{{B}_{1}}{{C}_{1}}}}={{x}^{2}}-16x+64\), cioè il volume \(V\) del prisma è \(V\left( x \right)={{x}^{3}}-16{{x}^{2}}+64x\).
Massimo Bergamini