Ricevo da Tommaso la seguente domanda:
Caro professore,
oggi ho incontrato parecchie difficoltà nel fare questo problema:
Fra tutte le circonferenze tangenti alla retta \(t\) di equazione \(2x-y=0\) nell'origine \(O\) del sistema di riferimento, determina quelle tangenti alla retta \(s\) di equazione \(2x+y-4=0\). Rappresenta le due circonferenze trovate e determina l'ulteriore tangente comune. Inoltre calcola l'area del triangolo che si forma con l'intersezione delle tre tangenti.
Onestamente non so proprio come farlo. Se mi potrebbe dare una mano le sarei molto grato.
Onestamente non so proprio come farlo. Se mi potrebbe dare una mano le sarei molto grato.
Gli rispondo così:
Caro Tommaso,
con riferimento alla figura, e in base a noti teoremi relativi allle relazioni tra circonferenze e rette tangenti, osserviamo che i centri delle circonferenze cercate devono appartenere alla retta perpendicolare a \(t\) passante per \(O\), di equazione \(y=-\frac{1}{2}x\), e ad una delle bisettrici dell’angolo formato dalle rette \(t\) e \(s\); tali bisettrici si ricavano come luoghi dei punti equidistanti dalle due rette, cioè:
\[\frac{\left| y-2x \right|}{\sqrt{5}}=\frac{\left| y+2x-4 \right|}{\sqrt{5}}\to y-2x=\pm \left( y+2x-4 \right)\to y=2\vee x=1\quad .\]
Intersecando l’una e l’altra di tali rette con la retta \(y=-\frac{1}{2}x\) si ottengono i centri \(C_1(1,-1/2)\) e \(C_2(-4,2)\) e i rispettivi raggi, \(r_1=OC_1=\sqrt{5}/2\), \(r_2=OC_2=2\sqrt{5}\), delle circonferenze richieste:
\[{{\gamma }_{1}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2x+y=0\quad \quad {{\gamma }_{2}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+8x-4y=0\quad .\]
Un modo rapido di individuare l’ulteriore retta \(s’\) tangente ad entrambe le circonferenze consiste nell’osservare che tale retta deve essere la simmetrica della retta \(s\) rispetto alla retta dei centri, e pertanto deve congiungere il punto \(B(8/3,-4/3)\), intersezione della retta dei centri con la retta \(s\), e il punto \(C(-1,-2)\), simmetrico del punto \(A(1,2)\), intersezione di \(t\) ed \(s\), rispetto alla retta dei centri; si ricava quindi che tale retta ha equazione: \(y=\frac{2}{11}x-\frac{20}{11}\). I punti \(A\), \(B\) e \(C\) così determinati sono i vertici del triangolo isoscele di base \(AC\) formato dalle tangenti comuni alle due circonferenze, la cui area \({{S}_{ABC}}\) si può calcolare come doppio dell’area del triangolo rettangolo \(AOB\):
\[{{S}_{ABC}}=2{{S}_{AOB}}=AO\cdot OB=\sqrt{5}\cdot \sqrt{\frac{80}{9}}=\frac{20}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini