Ricevo da Caterina la seguente domanda:
Gentile professore,
mi sono trovata davanti a un problema di geometria che non riesco del tutto a risolvere.
Determinare l'ampiezza di ciascun angolo alla base di un trapezio isoscele circoscritto a un semicerchio di raggio di misura \(r\) in modo che la superficie del solido generato dal trapezio in una rotazione completa intorno alla base maggiore risulti \(2\pi \left( 3\sqrt{2}-2 \right){{r}^{2}}\).
Grazie mille!
Le rispondo così:
Cara Caterina,
con riferimento alla figura, posto \(x=C\hat{D}E=D\hat{C}F\), \(0<x<\pi /2\), possiamo ricavare le seguenti relazioni:
\[ED=OD=\frac{r}{\sin x}\quad LD=ED\cos x=\frac{r\cos x}{\sin x}\quad EF=2OL=2\left( OD-LD \right)=\frac{2r\left( 1-\cos x \right)}{\sin x}\ .\]
La superficie \(S(x)\) del solido di rotazione è costituita dalla somma della superficie laterale di un cilindro di raggio \(r\) e altezza \(EF\) e delle superfici laterali di due coni congruenti di raggio di base \(r\) e apotema \(ED\):
\[S\left( x \right)=\frac{4\pi {{r}^{2}}\left( 1-\cos x \right)}{\sin x}+\frac{2\pi {{r}^{2}}}{\sin x}=\frac{2\pi {{r}^{2}}\left( 3-2\cos x \right)}{\sin x}\]
da cui si ricava l’equazione richiesta:
\[\left( 3\sqrt{2}-2 \right)\sin x+2\cos x-3=0\quad .\]
Posto \(X=\cos x\), \(Y=\sin x\), l’equazione lineare può essere risolta ponendola a sistema con l’identità fondamentale \(X^2+Y^2=1\); si ottengono per \(X\) e \(Y\) le coppie seguenti, entrambe accettabili:
\[{{X}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2},{{Y}_{1}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\quad \quad {{X}_{2}}=\frac{156-25\sqrt{2}}{194}\approx 0,62188,{{Y}_{2}}=\frac{5\left( 12+13\sqrt{2} \right)}{194}\approx 0,78311\]
per cui
\[{{x}_{1}}=45{}^\circ \quad {{x}_{2}}=\arccos \left( \frac{156-25\sqrt{2}}{194} \right)\approx 51,54{}^\circ \quad .\]
Massimo Bergamini