Ricevo da Rosalia la seguente domanda:
Caro professore,
non riesco a risolvere il seguente esercizio (Manuale Blu di Matematica, pag.Q150, n316), potrebbe darmi un aiuto?
Data una semicirconferenza di centro \(O\) e diametro \(AB=2r\), conduci la corda \(AC\) che formi l’angolo \(B\hat{A}C=x\) col diametro e la retta \(A\) passante per \(O\) e parallela ad \(AC\). Indicate con \(A^\prime\) la proiezione di \(A\) su \(a\) e con \(C^\prime\) quella di \(C\), esprimi in funzione dell’angolo \(x\):
a) l’area \(S\) della superficie generata , in una rotazione completa attorno ad \(a\), dall’arco \(AC\);
b) il volume \(V\) del solido generato, nella medesima rotazione, dalla figura piana che ha per lati i segmenti \(AA^\prime\), \(A^\prime C^\prime\), \(C^\prime C\) e l’arco \(AC\).
Traccia poi il grafico della funzione \(f(x)=V/S\) e trova per quale valore di \(x\) è massima.
Grazie
Le rispondo così:
Cara Rosalia,
con riferimento alla figura, osserviamo che la rotazione dell’arco \(AC\) genera una zona sferica a due basi, la cui superficie \(S(x)\) è ricavabile dalla formula \(S=2\pi r h\), essendo \(r\) il raggio della sfera e \(h=AC=2r\cos x\) la distanza tra le basi, per cui, limitatamente a \(0\leq x\leq \pi/2\): \[S(x)= 4\pi r^2 \cos x\quad .\]
Il volume di una zona sferica avente \(r_1\) ed \(r_2\) come raggi delle basi e \(h\) come distanza tra esse, è ricavabile dalla formula \(V=\frac{\pi h\left( {{r}_{1}}^{2}+{{r}_{2}}^{2} \right)}{2}+\frac{\pi {{h}^{3}}}{6}\), per cui, essendo \(C'B={{r}_{1}}={{r}_{2}}=r\sin x\), si ha: \[V\left( x \right)=2\pi {{r}^{3}}\cos x\left( {{\sin }^{2}}x \right)+\frac{4\pi {{r}^{3}}{{\cos }^{3}}x}{3}=\frac{2\pi {{r}^{3}}\cos x\left( {{\sin }^{2}}x+2 \right)}{3}\quad .\]
La funzione \(f(x)\) ha quindi la seguente espressione:
\[f\left( x \right)=\frac{V\left( x \right)}{S\left( x \right)}=\frac{r\left( {{\sin }^{2}}x+2 \right)}{6}=\frac{r\left( 5-\cos 2x \right)}{12}\quad \quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\]
avendo utilizzato l’identità \(2{{\sin }^{2}}x=1-\cos 2x\). La funzione assume il suo valore massimo quando \(-\cos 2x\) è massimo, cioè per \(2x=\pi\), cioè per \(x=\pi/2\).
Massimo Bergamini