Ricevo da Carola la seguente domanda:
Carissimo professore,
ho trovato alcune difficoltà nel risolvere il seguente problema:
Considerare la funzione \(f\left( x \right)=a{{e}^{2x}}+b{{e}^{-2x}}-x{{e}^{-2x}}\).
1) Determinare \(a\) e \(b\) in modo che il grafico di \(f(x)\) ammetta l'asse delle ascisse come asintoto orizzontale e che nel punto di intersezione con l'asse delle \(y\) la retta tangente sia parallela alla bisettrice del \(1°\) e del \(3°\) quadrante.
2) Studiare la funzione ottenuta al punto 1).
2) Studiare la funzione ottenuta al punto 1).
3) Calcolare l'area \(g(c)\) della parte di piano delimitata dalla funzione di cui al punto 2) in \([-1;c]\), con \(c>-1\). Calcolare poi il limite per \(c\rightarrow +\infty\) di \(g(c)\) e dare un'interpretazione geometrica del risultato ottenuto.
La ringrazio.
La ringrazio.
Le rispondo così:
Cara Carola,
osserviamo innanzitutto che la funzione \(f\left( x \right)=a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}}\) non può ammettere l’asse \(x\) come asintoto orizzontale se non per \(a=0\), poiché se fosse \(a\neq 0\), si avrebbe \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}} \right)=\pm \infty +0=\pm \infty \) e \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( a{{e}^{2x}}+\left( b-x \right){{e}^{-2x}} \right)=0+\infty =+\infty\); pertanto si deve avere \(f\left( x \right)=\left( b-x \right){{e}^{-2x}}\). Poiché allora \(f'\left( x \right)={{e}^{-2x}}\left( 2x-2b-1 \right)\), la condizione \(f'\left( 0 \right)=1\) implica \(b=-1\), cioè \[f\left( x \right)=-\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}\quad .\]
La funzione, definita e continua su tutto \(\mathbb{R}\), è positiva per \(x<-1\), si annulla in \(x=-1\) e presenta i seguenti limiti agli infiniti (il secondo dei quali è giustificato dal teorema di de l’Hopital):
\[\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\left( x+1 \right){{e}^{-2x}} \right)=+\infty \cdot \left( +\infty \right)=+\infty \quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( -\left( x+1 \right){{e}^{-2x}} \right)=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+1}{{{e}^{2x}}}=-\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{2{{e}^{2x}}}=0\quad .\]
Analizziamo derivata prima e seconda:
\[f'\left( x \right)=\left( 2x+1 \right){{e}^{-2x}}\quad \quad f'\left( x \right)=-4x{{e}^{-2x}}\quad .\]
Poiché \(f'\left( x \right)\) si annulla in \(x=-1/2\), essendo prima negativa e poi positiva, il grafico di \(f(x)\) presenta un minimo relativo nel punto \((-1/2,-e/2)\), e presenta concavità verso l’alto per \(x<0\) e verso il basso per \(x>0\), essendo \((0,-1)\) un punto di flesso.
L’area \(g(c)\) si calcola come integrale definito:
\[g\left( c \right)=\left| -\int\limits_{-1}^{c}{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx} \right|=\int\limits_{-1}^{c}{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx\quad .}\]
Procedendo per parti, e osservando che \(\int{{{e}^{-2x}}dx}=-\frac{1}{2}{{e}^{-2x}}+c\):
\[\int{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}dx}=-\frac{\left( x+1 \right){{e}^{-2x}}}{2}+\frac{1}{2}\int{{{e}^{-2x}}dx=-}\frac{\left( 2x+3 \right){{e}^{-2x}}}{4}+c\]
per cui:
\[g\left( c \right)=\left[ -\frac{\left( 2x+3 \right){{e}^{-2x}}}{4} \right]_{-1}^{c}=\frac{{{e}^{2}}-{{e}^{-2c}}\left( 2c+3 \right)}{4}\quad .\]
Poiché \(\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-2c}}\left( 2c+3 \right)=\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 2c+3 \right)}{{{e}^{2c}}}=0\), si ha \(\underset{c\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( c \right)=\frac{{{e}^{2}}}{4}\approx 1,847\), valore che rappresenta l’area, finita, della regione illimitata compresa tra il grafico della funzione e l’asse \(x\) (integrale improprio).
Massimo Bergamini