Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
potrebbe aiutarmi a risolvere i seguenti tre quesiti?
1) Dire se le funzioni \(f\left( x \right)={{5}^{2+{{\log }_{5}}x}}\) e \(g(x)=25x\) sono uguali, motivando adeguatamente la risposta.
2) Considerata la funzione \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}+\frac{1}{{{x}^{2}}}\int\limits_{0}^{x}{\left( \sin t-1 \right)dt}\), dimostrare che \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\frac{1}{2}\).
3) Sia \(x\) un numero reale negativo; considerare le seguenti relazioni:
a) \(x\left| x \right|>0\) ;
b) \(x+\left| x \right|>0\) ;
c) \(x/|x|>0\) ;
d) \(\left| -x \right|\left| x \right|<0\) ;
e) \(x-\left| x \right|<0\)
Una sola di esse è vera; individuala motivando esaustivamente la scelta fatta.
Grazie mille
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
nel primo quesito, ricordando che una funzione non è definita solamente da una legge di corrispondenza ma anche da un dato dominio su cui opera tale legge, osserviamo che \(f(x)\) è definita solo per \(x>0\), essendo \(x\) argomento di \(log_5 x\): limitatamente quindi agli \(x>0\), si può effettivamente considerare \(f\left( x \right)={{5}^{2+{{\log }_{5}}x}}=5^2\cdot) {{5}^{{{\log }_{5}}x}}=25x=g(x)\), ma questo non implica che le due funzioni siano la stessa funzione, proprio perché \(g(x)=25x\), salvo indicazioni contrarie, ha come dominio naturale l’intera retta reale; le due leggi sono le stesse, ma su domini diversi, quindi le funzioni sono diverse.
Nel secondo quesito, osserviamo che \(\int\limits_{0}^{x}{\left( \sin t-1 \right)dt=\left[ -\cos t-t \right]_{0}^{x}}=-\cos x-x+1\), per cui: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos x}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\sin }^{2}}x}{\left( 1+\cos x \right){{x}^{2}}}=\frac{1}{2}\quad .\]
Nel terzo quesito, basta ricordare che \(x<0\Rightarrow \left| x \right|=-x\), per cui le disuguaglianze proposte diventano:
a) \(-{{x}^{2}}>0\) , falsa \(\forall x\);
b) \(x-x>0\) , falsa \(\forall x\);
c) \(\frac{x}{-x}=-1>0\) , falsa \(\forall x\ne 0\);
d) \({{x}^{2}}<0\), falsa \(\forall x\);
e) \(x-\left( -x \right)=2x<0\), vera \(\forall x<0\).
Massimo Bergamini