Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questo problema:
Il circocentro \(O\) di un triangolo isoscele \(ABC\) di base \(BC\) dista \(20\;cm\) dal vertice \(A\). Calcola l’area della superficie del triangolo ed il perimetro sapendo che ciascuno dei lati congruenti è \(32\;cm\). Indicato con \(H\) il piede dell’altezza relativa a \(BC\), con \(D\) e con \(E\) rispettivamente i punti medi di \(AB\) e di \(AC\), dimostrare che: a) i punti \(B\), \(D\), \(O\) ed \(H\) sono conciclici; b) il quadrilatero \(ADOE\) è inscrittibile in una circonferenza.
Calcolare poi la misura del raggio del cerchio inscritto nel quadrilatero \(ADOE\) e l’area della superficie totale e il volume del solido generato dalla rotazione completa del quadrilatero \(BDOH\) intorno alla retta \(AH\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
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Cara Elisa,
per prima cosa osserviamo, con riferimento alla figura, che il triangolo isoscele \(AOC\) è formato da due triangoli rettangoli congruenti aventi ipotenusa \(AO=OC=20\;cm\) e cateti \(AE=EC=16\;cm\), per cui l’altro cateto è \(OE=12\;cm\). Per similitudine dei triangoli \(AOE\) e \(AHC\), si ricava: \(AC:HC=AO:OE\), da cui \(HC=96/5\;cm\), e di conseguenza \(OH=28/5\;cm\) e \(AH=128/5\;cm\). Area e perimetro del triangolo sono quindi \(S=12288/25\;cm^2\) e \(2p=512/5\;cm\). Il fatto che \(BDOH\) e \(ADOE\) siano entrambi quadrilateri inscrittibili in una circonferenza è conseguenza immediata del fatto che entrambi sono composti dall’unione di due triangoli rettangoli che condividono la stessa ipotenusa, pertanto la somma degli angoli opposti è ovviamente un angolo piatto, condizione sufficiente e necessaria per l’inscrivibilità. Per il quadrilatero \(ADOE\) è pure soddisfatta la condizione di circoscrivibiltà ad una circonferenza (la somma dei lati opposti è la stessa, vista la congruenza dei triangoli \(ADO\) e \(AOE\)): poiché l’area del quadrilatero è \(S=192\;cm^2\) e il perimetro è \(2p=56\;cm\), dalla relazione \(r=S/p\) si ricava il raggio \(r=IJ=48/7\;cm\) della circonferenza inscritta. Infine, superficie totale \(S_T\) e volume \(V\) del solido indicato si possono ricavare in questo modo: \(S_T=S_1-S_2+S_3\), dove \(S_1\) è la superficie totale del cono di raggio di base \(HC\) e altezza \(AH\), \(S_2\) è la superficie laterale del cono di raggio di base \(KE=HC/2\) e altezza \(AK=AH/2\), \(S_3\) è la superficie laterale del cono di raggio di base \(KE\) e altezza \(KO=36/5\;cm\), mentre \(V=V_1-V_2-V_3\), dove \(V_1\), \(V_2\) e \(V_3\) sono i volumi degli stessi coni; quello che si ottiene è il seguente: \[{{S}_{T}}=\frac{23616}{25}c{{m}^{2}}\quad \quad V=\frac{316416}{125}c{{m}^{3}}\quad .\]
Massimo Bergamini