Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe a risolvere il seguente problema?
Considerare su una retta \(t\) dotata di un sistema di ascisse, i punti \(A(-1)\) e \(B(1)\) e sia \(P\) un generico punto di ascissa \(x\). Dette \(a\) e \(b\) rispettivamente le misure orientate del segmento \(AP\) rispetto al segmento \(AO\) e di \(BP\) rispetto a \(OP\), studiare la funzione di equazione \(f\left( x \right)=a+\frac{1}{b}\) e tracciarne il grafico, esaminandone continuità e derivabilità. Calcolare l'area della porzione finita di piano compresa tra la curva e l'asse. Dedurre, dal grafico ottenuto, i grafici delle funzioni \(g\left( x \right)=\ln \left( f\left( x \right) \right)\) e \(h\left( x \right)={{e}^{1/f\left( x \right)}}\), giustificandone il comportamento.
La ringrazio moltissimo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
chiariamo innanzitutto cosa si debba intendere per misura orientata dei segmenti \(AP\) e \(BP\) rispetto ai segmenti \(AO\) e \(OP\) rispettivamente: se \(x\) indica l’ascissa di \(P\) rispetto ad \(O\), le misure assolute dei segmenti \(AO\) e \(OP\), da assumersi come unità per le misure orientate di \(AP\) e \(BP\), saranno \(1\) e \(\left| x \right|\) rispettivamente, pertanto si avrà \(a=x+1\) e \(b=\frac{x-1}{\left| x \right|}\), conformemente al fatto che \(a>0\) se \(P\) segue \(A\) rispetto all’orientamento di \(t\), così come \(b>0\) se \(P\) segue \(B\), e viceversa. Pertanto, la funzione da studiare è \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+\left| x \right|+1}{x-1}\] cioè \[f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}\quad x\ge 0,x\ne 1\quad \quad f\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x-1}\quad x<0\quad .\]
La funzione è ovunque continua, ove definita, compreso il punto \(x=0\), essendo \(f\left( 0 \right)=1=\underset{x\to {{0}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)\). In \(x=1\) si ha un asintoto verticale, poiché \(\underset{x\to {{1}^{\pm }}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\pm \infty \). La funzione si annulla per \(x=\pm \frac{\sqrt{5}-1}{2}\), è positiva per gli \(x\) compresi tra questi valori e per \(x>1\). Il grafico presenta due distinti asintoti obliqui, cioè le rette \(y=x\) e \(y=x+2\), infatti: \[\underset{x\to \pm \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{x}=1\quad \underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{x-1}=0\quad \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{2x-1}{x-1}=2\quad .\]
La funzione derivata è la seguente: \[f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2x}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\quad x>0,x\ne 1\quad \quad f'\left( x \right)=\frac{{{x}^{2}}-2x+2}{{{\left( x-1 \right)}^{2}}}\quad x<0\]
da cui si evince che in \(x=0\), essendo distinti i limiti destro (\(0\)) e sinistro (\(2\)) della funzione derivata, la funzione, benché continua, non è derivabile.
L’area \(S\) richiesta si può calcolare in questo modo:
\[S=\int\limits_{-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{0}{\frac{{{x}^{2}}-x-1}{x-1}dx+}\int\limits_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}{\frac{{{x}^{2}}+x-1}{x-1}dx}=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\ln \left| x-1 \right| \right]_{-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{0}+\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}+2x+\ln \left| x-1 \right| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\]
\[=\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-\ln \left| x-1 \right| \right]_{-\frac{\sqrt{5}-1}{2}}^{0}+\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}+2x+\ln \left| x-1 \right| \right]_{0}^{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}=\ln \frac{\sqrt{5}+1}{2}+\frac{\sqrt{5}-3}{4}+2\ln \frac{\sqrt{5}-1}{2}+\frac{3\sqrt{5}-1}{4}=\]
\[=\ln \frac{\sqrt{5}-1}{2}+\sqrt{5}-1\approx 0,7548\quad .\]
I grafici in figura riassumono l’analisi qualitativa che si può fare in merito all’andamento di \(g(x)\) e \(h(x)\).
Massimo Bergamini