Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
mi aiuta a risolvere questi quesiti?
1) Determinare il parametro \(k\) affinché \(\int\limits_{0}^{1}{\left[ k{{x}^{2}}+\left( 2k+1 \right)x-k \right]dx=\frac{7}{6}}\).
2) Su una funzione \(f(x)\) si hanno le seguenti informazioni: \(f''\left( x \right)=\frac{x-1}{x},\ f'\left( 1 \right)=0,\ f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}\). Qual è l’espressione di \(f(x)\)?
3) Due coppie di amici si devono recare da una città \(A\) ad una città \(B\) che distano \(88\;km\) l’una dall’altra. Per il trasporto è disponibile un solo taxi che può trasportare solo due persone alla volta oltre al conducente. Decidono allora che inizialmente la prima coppia andrà a piedi, viaggiando a una velocità media di \(5\;km/h\), mentre la seconda coppia userà il taxi, viaggiando a una velocità media di \(40\;km/h\). Ad un certo punto il taxi lascerà la seconda coppia, che proseguirà a piedi, e tornerà a prendere la prima coppia che completerà il percorso in auto alla stessa velocità di \(40\;km/h\). A quale distanza dalla città \(A\) il taxi deve tornare indietro se entrambe le coppie devono percorrere lo stesso tratto di strada a piedi?
4) Il calore disperso da un corpo avente una differenza di temperatura \(\Delta T\) rispetto all’ambiente esterno è proporzionale alla sua superficie. Determina il valore che deve avere il rapporto \(h/r\) tra l’altezza \(h\) e il raggio di base \(r\) di un cilindro, di fissato volume \(V\), affinché la dispersione di calore sia minima.
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
nel primo quesito, si tratta semplicemente di eseguire l’integrale e porlo uguale a \(7/6\):
\[\int\limits_{0}^{1}{\left( k{{x}^{2}}+\left( 2k+1 \right)x-k \right)dx=\left[ \frac{k{{x}^{3}}}{3}+\frac{\left( 2k+1 \right){{x}^{2}}}{2}-kx \right]_{0}^{1}=\frac{k}{3}+\frac{1}{2}=\frac{7}{6}\to k=2\quad .}\]
Nel secondo quesito, si tratta di determinare in successione le primitive di funzioni assegnate che soddisfano alle condizioni richieste:\[f'\left( x \right)=\int{\frac{x-1}{x}dx=x-\ln x+c\to }f'\left( 1 \right)=1+c=0\leftrightarrow c=-1\]
\[f\left( x \right)=\int{\left( x-\ln x-1 \right)dx=}\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x\ln x+x-x+c\to f\left( 1 \right)=\frac{1}{2}+c=\frac{1}{2}\leftrightarrow c=0\]
per cui \(f\left( x \right)=\frac{1}{2}{{x}^{2}}-x\ln x\).
Nel terzo quesito possiamo ragionare così: poiché il cammino percorso dalla coppia che procede a piedi in un dato tempo è comunque \(1/8\) di quello percorso dal taxi, detto \(x\) il tratto percorso dalla prima coppia quando il taxi, che nel frattempo ha percorso un tratto \(8x\), lascia la seconda coppia e torna a recuperare la prima, il cammino che la seconda coppia deve compiere a piedi è pari a \((88-8x)\), mentre la prima coppia, oltre a \(x\), deve anche percorrere \(1/9\) della distanza \(8x-x=7x\) che la separa dal punto in cui il taxi inverte la sua marcia (infatti tale distanza deve risultare suddivisa in due tratti che stanno in rapporto \(1:8\)), cioè in definitiva si deve avere:
\(x+\frac{7}{9}x=88-8x\to x=9km\to 8x=72\;km\quad .\)
L’ultimo quesito si traduce nella richiesta di individuare il rapporto \(h/r\) di un cilindro di assegnato volume che abbia superficie minima. Poiché \(V=\pi {{r}^{2}}h\), si ha \(h=V/(2\pi {{r}^{2}})\), quindi \(S\left( r \right)=2\pi {{r}^{2}}+2\pi rh=2\pi {{r}^{2}}+\frac{V}{r}\). Derivando e uguagliando a zero, si ha:
\[S'\left( r \right)=4\pi r-\frac{V}{{{r}^{2}}}=0\to {{r}_{\min }}=\sqrt[3]{V/4\pi },\ {{h}_{\min }}=\sqrt[3]{2V/\pi }\to \frac{{{h}_{\min }}}{{{r}_{\min }}}=2\quad .\]
Massimo Bergamini