Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
come si risolve questo quesito?
Sia dato un cono equilatero avente vertice \(V\) e per base il cerchio \(\gamma\) di centro \(O\) e diametro \(AB=2\). Un piano \(\alpha\) perpendicolare al piano di base intercetta su \(\gamma\) una corda \(DE\) normale in \(H\) al raggio \(OB\) e incontra nel punto \(C\) la generatrice \(VB\). Studiare il volume della piramide di base \(ODE\) e vertice \(C\) in funzione della distanza \(OH=x\) di \(O\) dalla corda \(DE\). Posto \(OH=1/2\), calcolare la superficie totale della piramide.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, dalla similitudine dei triangoli \(VOB\) e \(CHB\) si ricava la proporzione \(CH:HB=VO:OB\), cioè \(CH=\sqrt{3}\left( 1-x \right)\), e dal teorema di Pitagora: \(DE=2\sqrt{1-x^2}\), per cui il volume \(V(x)\) è dato da:
\[V\left( x \right)=\frac{\sqrt{3}}{3}x\left( 1-x \right)\sqrt{1-{{x}^{2}}}\quad .\]
In particolare, per \(x=1/2\), si ha \(V=1/8\), mentre la superficie totale della piramide si ottiene dall’applicazione ripetuta del teorema di Pitagora, da cui si ricavano le seguenti:
\[CH=\frac{\sqrt{3}}{2},\ DE=\sqrt{3},\ CO=OE=DO=1,\ CE=DC=\frac{\sqrt{6}}{2}\]
per cui:
\[{{S}_{ODE}}=\frac{\sqrt{3}}{4},\ {{S}_{DCE}}=\frac{3}{4},{{S}_{COE}}={{S}_{COD}}=\frac{\sqrt{15}}{8}\to S={{S}_{ODE}}+{{S}_{DCE}}+2{{S}_{COE}}=\frac{\sqrt{15}+\sqrt{3}+3}{4}\ .\]
Massimo Bergamini