MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Un problema di trigonometria

Un problema di trigonometria

Disciplina: Matematica Funzioni goniometriche 
di Massimo Bergamini, 30 Maggio 2012
Ricevo da Domenico la seguente domanda:
 
Caro professore,
mi aiuterebbe a risolvere questo problema?
Una circonferenza ha centro in \(O\) e raggio \(r\), ed è tangente in \(A\) e \(B\) alle rette \(a\) e \(b\) perpendicolari fra loro, che si incontrano in \(C\). Una retta \(t\) condotta da \(C\) incontra la circonferenza in \(D\) e in \(E\). Detto \(H\) il piede della perpendicolare condotta da \(O\) a \(t\), determinare la posizione di \(t\) in modo che si abbia
                                         \[OH+CD+CE=\frac{\left( 2\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)r}{2}\quad .\]
Grazie.
 
Gli rispondo così:
 
 
 
Caro Domenico,
osserviamo anzitutto che i segmenti di tangente e i raggi nei punti di tangenza, nelle ipotesi del problema, formano un quadrato \(AOBC\) di lato \(r\). Poniamo \(x=B\hat{C}E\): per la simmetria del problema rispetto alla bisettrice \(CO\) dell’angolo retto in \(C\), possiamo limitarci a considerare \(0\leq x\leq \pi/4\): ogni eventuale soluzione \(x\) in tale intervallo ne comporta una simmetrica \(\pi/4+x\). Detto \(M\) il punto di intersezione tra \(OB\) e \(CE\), poiché \(BC=OB=r\), osservando i triangoli rettangoli simili \(MCB\) e \(OMH\), otteniamo:
\[MB=r\tan x\to OM=r-r\tan x\to OH=OM\cos x=r\left( \cos x-\sin x \right)\quad .\] Possiamo ricavare la corda \(DE\) dal teorema di Pitagora: \[DE=2\sqrt{O{{E}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{r}^{2}}{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}=2r\sqrt{2\sin x\cos x}=2r\sqrt{\sin 2x}\quad .\]
Per ricavare \(CD\) e \(CE\), possiamo ora ricordare il teorema della secante-tangente, che implica \(CD\cdot CE =CB^2=r^2\). Abbiamo quindi \(CE-CD=2r\sqrt{\sin 2x}\) e \(CD\cdot CE =r^2\), da cui
\[C{{D}^{2}}+2r\sqrt{\sin 2x}CD-{{r}^{2}}=0\to CD=r\left( \sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{\sin 2x} \right)\to CE=r\left( \sqrt{1+\sin 2x}+\sqrt{\sin 2x} \right)\]
e infine: \[OH+CD+CE=2r\sqrt{1+\sin 2x}+r\left( \cos x-\sin x \right)\]da cui, osservando che \(\sqrt{1+\sin 2x}=\sqrt{2}\cos \left( \pi /4-x \right)\) e \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin \left( \pi /4-x \right)\), si ha l’equazione:
                                \[4\cos \left( \pi /4-x \right)+2\sin \left( \pi /4-x \right)-2\sqrt{3}-1=0\quad .\]
L’equazione, lineare in \(X=\cos \left( \pi /4-x \right)\) e \(Y=\sin \left( \pi /4-x \right)\), equivale al sistema di \(2^\circ\) grado: \(4X+2Y-2\sqrt{3}-1=0\) et \(X^2+Y^2=1\), le cui soluzioni sono le coppie:
            \[X=\frac{\sqrt{3}}{2},Y=\frac{1}{2}\quad \quad X=\frac{3\sqrt{3}+4}{10},Y=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}\quad .\]
La prima soluzione implica \(\pi /4-x=\pi /6\to x=\pi /12=15^\circ\), la seconda implica \(x\approx 21,87{}^\circ\); entrambe sono accettabili, e comportano, come si diceva, altre due soluzioni simmetriche nell’intervallo \(\pi/4\leq x \leq \pi/2\).
 
Massimo Bergamini
Tag: circonferenza, equazioni, goniometria, trigonometria


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl