Ricevo da Domenico la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuterebbe a risolvere questo problema?
Una circonferenza ha centro in \(O\) e raggio \(r\), ed è tangente in \(A\) e \(B\) alle rette \(a\) e \(b\) perpendicolari fra loro, che si incontrano in \(C\). Una retta \(t\) condotta da \(C\) incontra la circonferenza in \(D\) e in \(E\). Detto \(H\) il piede della perpendicolare condotta da \(O\) a \(t\), determinare la posizione di \(t\) in modo che si abbia
\[OH+CD+CE=\frac{\left( 2\sqrt{6}+\sqrt{2} \right)r}{2}\quad .\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Domenico,
osserviamo anzitutto che i segmenti di tangente e i raggi nei punti di tangenza, nelle ipotesi del problema, formano un quadrato \(AOBC\) di lato \(r\). Poniamo \(x=B\hat{C}E\): per la simmetria del problema rispetto alla bisettrice \(CO\) dell’angolo retto in \(C\), possiamo limitarci a considerare \(0\leq x\leq \pi/4\): ogni eventuale soluzione \(x\) in tale intervallo ne comporta una simmetrica \(\pi/4+x\). Detto \(M\) il punto di intersezione tra \(OB\) e \(CE\), poiché \(BC=OB=r\), osservando i triangoli rettangoli simili \(MCB\) e \(OMH\), otteniamo:
\[MB=r\tan x\to OM=r-r\tan x\to OH=OM\cos x=r\left( \cos x-\sin x \right)\quad .\] Possiamo ricavare la corda \(DE\) dal teorema di Pitagora: \[DE=2\sqrt{O{{E}^{2}}-O{{H}^{2}}}=2\sqrt{{{r}^{2}}-{{r}^{2}}{{\left( \cos x-\sin x \right)}^{2}}}=2r\sqrt{2\sin x\cos x}=2r\sqrt{\sin 2x}\quad .\]
Per ricavare \(CD\) e \(CE\), possiamo ora ricordare il teorema della secante-tangente, che implica \(CD\cdot CE =CB^2=r^2\). Abbiamo quindi \(CE-CD=2r\sqrt{\sin 2x}\) e \(CD\cdot CE =r^2\), da cui
\[C{{D}^{2}}+2r\sqrt{\sin 2x}CD-{{r}^{2}}=0\to CD=r\left( \sqrt{1+\sin 2x}-\sqrt{\sin 2x} \right)\to CE=r\left( \sqrt{1+\sin 2x}+\sqrt{\sin 2x} \right)\]
e infine: \[OH+CD+CE=2r\sqrt{1+\sin 2x}+r\left( \cos x-\sin x \right)\]da cui, osservando che \(\sqrt{1+\sin 2x}=\sqrt{2}\cos \left( \pi /4-x \right)\) e \(\cos x-\sin x=\sqrt{2}\sin \left( \pi /4-x \right)\), si ha l’equazione:
\[4\cos \left( \pi /4-x \right)+2\sin \left( \pi /4-x \right)-2\sqrt{3}-1=0\quad .\]
L’equazione, lineare in \(X=\cos \left( \pi /4-x \right)\) e \(Y=\sin \left( \pi /4-x \right)\), equivale al sistema di \(2^\circ\) grado: \(4X+2Y-2\sqrt{3}-1=0\) et \(X^2+Y^2=1\), le cui soluzioni sono le coppie:
\[X=\frac{\sqrt{3}}{2},Y=\frac{1}{2}\quad \quad X=\frac{3\sqrt{3}+4}{10},Y=\frac{4\sqrt{3}-3}{10}\quad .\]
La prima soluzione implica \(\pi /4-x=\pi /6\to x=\pi /12=15^\circ\), la seconda implica \(x\approx 21,87{}^\circ\); entrambe sono accettabili, e comportano, come si diceva, altre due soluzioni simmetriche nell’intervallo \(\pi/4\leq x \leq \pi/2\).
Massimo Bergamini