Ricevo da Maria la seguente domanda:
Buongiorno, non riesco a risolvere questo problema (e non riesco a capire come trovare le limitazioni dell'angolo \(x\)):
In una circonferenza di raggio \(r\) è condotta la corda \(AB=r\sqrt{3}\). Sul maggiore dei due archi AB determina un punto \(D\) in modo che, condotta la corda \(AC\), bisettrice dell'angolo \(BAD\), valga la relazione: \[\frac{BD\cdot AC}{BC\cdot AD}=k\quad .\]
essendo \(k\) un numero reale positivo.
La ringrazio.
Le rispondo così:
Cara Maria,
posto \(B\hat{A}D=2x\), poiché la corda \(AB\) sottende un’angolo \(A\hat{D}B\) di ampiezza \(\pi/3\), si ha \(0<x<\pi/3\) (gli estremi sono esclusi perché comporterebbero valori nulli al denominatore della relazione richiesta). Appicando il teorema della corda si hanno le seguenti uguaglianze:
\[BD=2r\sin 2x\quad AC=2r\sin \left( 2\pi /3-x \right)\quad BC=2r\sin x\quad AD=2r\sin \left( 2\pi /3-2x \right)\]
da cui l’equazione: \[\sin 2x\cdot \sin \left( 2\pi /3-x \right)=k\sin x\cdot \sin \left( 2\pi /3-2x \right)\quad .\]
Sviluppando e semplificando (\(\sin x\ne 0\)), si ottiene l’equazione:
\[\sqrt{3}\left( k-1 \right)\cos 2x+\left( k-1 \right)\sin 2x-\sqrt{3}=0\]
che, posto \(X=\cos 2x\), \(Y=\sin 2x\), equivale all’equazione lineare \(\sqrt{3}\left( k-1 \right)X+\left( k-1 \right)Y-\sqrt{3}=0\), a sistema con l’equazione \(X^2+Y^2=1\) nei limiti \(-1/2<X<1\), \(0<Y\leq 1\); in altri termini, il problema equivale all’intersezione tra l’arco di circonferenza goniometrica compreso tra \(A(1,0)\) (escluso) e \(B(-1/2,\sqrt{3}/2)\) (escluso) e il fascio di rette improprio di pendenza \(-\sqrt{3}\). Il passaggio per l’estremo \(B\) si ha per \(k=\infty\), il passaggio per \(A\) si ha per \(k=2\), la tangenza per \(k=1+\sqrt{3}/2\) (il fascio “scorre” dall’alto al basso); pertanto, i problema ha una soluzione per \(k\geq 2\), due soluzioni (eventualmente coincidenti) per \(1+\sqrt{3}/2\leq k <2\).
Massimo Bergamini