Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
ho trovato qualche difficoltà nel risolvere questo problema, mi darebbe una mano?
In un sistema di assi cartesiani ortogonali \(xOy\) sono date le curve di equazione \(C:x^2+y^2=1\) e \(P:x=ay^2+b\), tangenti tra loro in un punto \(A\) del primo quadrante e in un punto \(B\) del quarto quadrante.
a) Esprimere i coefficienti \(a\) e \(b\) della curva \(P\) in funzione dell'ampiezza \(\alpha\) dell'angolo che la retta \(OA\) forma con il semiasse positivo delle \(x\).
b) Determinare per quale valore di \(\alpha\) è uguale a \(\sqrt{3}/4\) il rapporto tra la parte finita di piano, limitata dalle rette \(OA\), \(OB\) e dall'arco \(AB\) di parabola, e il quadrato costruito sulla corda \(AB\).
c) In corrispondenza al suddetto valore di \(\alpha\), calcolare l'area della parte finita di piano limitata dagli archi \(AB\) delle curve \(C\) e \(P\).
Le rispondo così:
Cara Carola,
innanzitutto notiamo che le coordinate del punto \(A\), essendo \(C\) la circonferenza unitaria, possono essere espresse come \((\cos \alpha, \sin \alpha)\), con \(0\leq \alpha < \pi/2\). L’appartenenza di \(A\) a \(P\) impone che sia \(\cos\alpha=a\sin^2\alpha+b\), mentre la condizione di tangenza tra le due curve implica che l’equazione \(x=a(1-x^2)+b\) abbia discriminante nullo, cioè \(1+4a(a+b)=0\). Le due condizioni determinano \(a\) e \(b\) in funzione di \(\alpha\): \[a=-\frac{1}{2\cos \alpha }\quad \quad b=\frac{1+{{\cos }^{2}}\alpha }{2\cos \alpha }\quad .\]
Per ricavare l’area \(S\) del triangolo mistilineo \(OAB\), con \(AB\) arco di \(P\), si può evitare il calcolo integrale, ricordando il teorema di Archimede sull’area del segmento parabolico, pari a \(2/3\) dell’area del rettangolo circoscritto. In particolare \(S\) è la somma dell’area \(S_1\) del triangolo \(OAB\) e dell’area \(S_2\) del segmento parabolico inscritto nel rettangolo \(ABFE\), di lati \(AB=2\sin\alpha\), \(BF=\left( 1+{{\cos }^{2}}\alpha \right)/\left( 2\cos \alpha \right)-\cos \alpha ={{\sin }^{2}}\alpha /\left( 2\cos \alpha \right)\), pertanto, detta \(Q\) l’area del quadrato di lato \(AB\), si ha: \[S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}=\sin \alpha \cos \alpha +\frac{2}{3}\frac{{{\sin }^{3}}\alpha }{\cos \alpha }\quad \quad Q=A{{B}^{2}}=4{{\sin }^{2}}\alpha \]per cui l’equazione che deve essere soddisfatta è la seguente: \[\frac{S}{Q}=\frac{\sqrt{3}}{4}\to 2{{\sin }^{2}}\alpha +3{{\cos }^{2}}\alpha -3\sqrt{3}\sin \alpha \cos \alpha =0\to 2{{\tan }^{2}}\alpha -3\sqrt{3}\tan \alpha +3=0\] le cui soluzioni sono \(\tan \alpha =\sqrt{3}\) e \(\tan \alpha =\sqrt{3}/2\), cioè \(\alpha_1 =\pi /3\) e \(\alpha_2 =\arctan \left( \sqrt{3}/2 \right)\). In corrispondenza a tali valori, si può calcolare l’area \(A\) compresa tra i due archi \(AB\), parabola e circonferenza, come differenza tra coppie di segmenti parabolici e segmenti circolari:
\[{{\alpha }_{1}}=\frac{\pi }{3}\Rightarrow A=\frac{9\sqrt{3}-4\pi }{12}\approx 0,252\quad \quad {{\alpha }_{1}}=\arctan \left( \sqrt{3}/2 \right)\Rightarrow A=\frac{3\sqrt{3}}{7}-\arctan \left( \sqrt{3}/2 \right)\approx 0,0286\quad .\]
Massimo Bergamini