Ricevo da Carola la seguente domanda:
Caro professore,
ho trovato qualche difficoltà nel risolvere il seguente problema. Mi potrebbe dare un aiuto?
Discutere la realtà e il segno delle radici dell'equazione
\[(m+1)(x^2)-2(m+3)x+3m+7=0\quad (1)\]
ricavando poi dalla \((1)\) il parametro \(m\) in funzione di \(x\). Studiare tale funzione \(F(x)\) determinandone gli eventuali massimi o minimi e verificare sul grafico il risultato della precedente discussione.
Quando l'equazione \((1)\) ammette delle radici reali, indicare con \(S\) e con \(P\) la loro somma e il loro prodotto. Studiare le variazioni di \(P\) e di \(S\) in funzione di \(m\); tracciare, rispetto a uno stesso sistema di assi cartesiani, le due curve rappresentatrici.
Considerare poi la funzione \(y=(m+1)(x^2)-2(m+3)x+3m+7\) e chiamare \(C_m\) la curva, grafico di questa funzione, per un dato valore di \(m\). La retta \(x=2\) taglia la curva \(C_m\) nel punto \(A\). Determinare \(m\) in modo che il coefficiente angolare della tangente in \(A\) a \(C_m\) sia \(4\). Tracciare la curva corrispondente e trovare l'area della parte di piano compresa fra l'asse \(y\), la curva e la tangente in \(A\).
La ringrazio moltissimo.
Le rispondo così:
Cara Carola,
l’equazione \((1)\) ammette una soluzione reale se si riduce ad un’equazione di 1° grado, il che avviene per \(m=-1\), ne ammette due, eventualmente coincidenti, se il suo discriminante risulta non negativo, il che avviene se e solo se \({{m}^{2}}+2m-1\le 0\to -1-\sqrt{2}\le m\le -1+\sqrt{2}\). Utilizzando la regola dei segni di Cartesio, si può dedurre che per \(-1-\sqrt{2}\geq m<-7/3\) si hanno due soluzioni negative (coincidenti nel caso \(m=-1-\sqrt{2}\)), per \(-7/3<m< -1\) si hanno due soluzioni di segno opposto, per \(m=-1\) si ha una sola soluzione positiva, per \(-<m<-1+\sqrt{2}\) si hanno due soluzioni positive (coincidenti nel caso \(m=-1+\sqrt{2}\)).
La funzione \(F(x)\) che si ricava esplicitando \(m=F(x)\) è la seguente: \[F\left( x \right)=\frac{-{{x}^{2}}+6x-7}{{{x}^{2}}-2x+3}\quad .\] Tale funzione risulta definita in tutto l’asse reale, con limite \(-1\) agli infiniti, quindi con la retta \(y=-1\) come asintoto orizzontale, con derivata prima \[F'\left( x \right)=\frac{-4\left( {{x}^{2}}-2x-1 \right)}{{{\left( {{x}^{2}}-2x+3 \right)}^{2}}}\quad .\] Tale derivata si annulla per \(x=1\pm \sqrt{2}\), e in tali punti \(F(x)\) presenta rispettivamente un minimo e un massimo relativi di valore esattamente pari a \(-1\mp \sqrt{2}\). Immaginando di intersecare il grafico di \(F(x)\) con un fascio di rette parallele all’asse delle ascisse, dal numero di possibili intersezioni e dal segno delle loro ascisse si deduce lo stesso risultato già precedentemente ottenuto.
Come si ricorda, \(S\) e \(P\) sono date rispettivamente da
\[S\left( m \right)=-\frac{b}{a}=\frac{2\left( m+3 \right)}{m+1}\ \quad S\left( m \right)=\frac{c}{a}=\frac{3m+7}{m+1}\]
con la limitazione \(-1-\sqrt{2}\le m\le -1+\sqrt{2}\); si tratta quindi di archi di iperboli equilatere.
La famiglia di parabole \(y=(m+1)(x^2)-2(m+3)x+3m+7\) definisce la famiglia di derivate \(y’=2(m+1)x-2(m+3)\): la pendenza della retta tangente nel punto \(A\) di ascissa \(x=2\) è pertanto \(2m-2\). Tale pendenza vale \(4\) se e solo se \(m=3\), per cui la parabola corrispondente ha equazione \(y=4x^2-12x+16\) e la retta tangente in \(A(2,8)\) ha equazione \(y=4x\). Pertanto, l’area \(S\) richiesta può essere calcolata tramite il seguente integrale definito:
\[S=\int\limits_{0}^{2}{\left( 4{{x}^{2}}-12x+16-4x \right)dx=}4\int\limits_{0}^{2}{{{\left( x-2 \right)}^{2}}dx=\frac{4}{3}}\left[ {{\left( x-2 \right)}^{3}} \right]_{0}^{2}=\frac{32}{3}\quad .\]
Massimo Bergamini