Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Mi potreste far sapere la soluzione dell'integrale:
\[\int{{{\ln }^{2}}xdx}\quad ?\]
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
procediamo per parti, considerando \({{\ln }^{2}}x=\ln x\cdot \ln x\): \[\int{{{\ln }^{2}}xdx}=\ln x\cdot \int{\ln xdx}-\int{\left( \frac{\int{\ln xdx}}{x} \right)\ }dx\quad .\]
Poiché, sempre utilizzando la formula dell’integrazione per parti, si ha:\[\int{\ln xdx}=x\ln x-\int{\frac{x}{x}dx}=x\ln x-x+c\] possiamo concludere che:\[\int{{{\ln }^{2}}xdx}=\ln x\cdot \left( x\ln x-x \right)-\int{\left( \frac{x\ln x-x}{x} \right)\ }dx=x{{\ln }^{2}}x-x\ln x-\int{\ln xdx\ }+\int{dx\ }=\] \[=x{{\ln }^{2}}x-x\ln x-x\ln x+x+x+c=x{{\ln }^{2}}x-2x\ln x+2x+c\quad .\]
Massimo Bergamini