Ricevo da Laura la seguente domanda:
Salve!! Avrei bisogno del suo aiuto per risolvere questi problemi:
1) Calcola il valor medio della funzione
\[f\left( x \right)=x\left( {{e}^{3{{x}^{2}}}}-{{e}^{-3{{x}^{2}}}} \right)\]
nell’intervallo \(\left[ 0,\sqrt{\ln 4} \right]\).
2) Consideriamo la funzione definita a tratti
\[f\left( x \right)=\left| {{x}^{3}} \right|\text{ se }x\in \left[ -1,0 \right)\cup \left( 0,1 \right]\text{ }\text{, }f\left( x \right)=\frac{1}{2}\text{ se }x=0\quad .\]
Trovare se esistono massimo e minimo della funzione oppure estremo inferiore e superiore.
Grazie in anticipo!!
Le rispondo così:
Cara Laura,
nel primo quesito si tratta di calcolare il seguente integrale (utilizzando le sostituzioni di variabile \(t=\pm 3{{x}^{2}}\to dt=\pm 6xdx\):
\[\frac{1}{\sqrt{\ln 4}}\int\limits_{0}^{\sqrt{\ln 4}}{x\left( {{e}^{3{{x}^{2}}}}-{{e}^{-3{{x}^{2}}}} \right)dx=}\frac{1}{6\sqrt{\ln 4}}\left( \int\limits_{0}^{3\ln 4}{{{e}^{t}}dt+\int\limits_{0}^{-3\ln 4}{{{e}^{t}}dt}} \right)=\frac{1}{6\sqrt{\ln 4}}\left( {{4}^{3}}-1+{{4}^{-3}}-1 \right)=\frac{1323}{128\sqrt{\ln 4}}\quad .\]
Nel secondo quesito si osserva che la funzione è pari, assume valore \(1\) in \(x=\pm 1\), è monotona decrescente/crescente negli intervalli \(\left[ -1,0 \right)\) e \(\left( 0,1 \right]\) rispettivamente, e il limite per \(x\) che tende a \(0\) è \(0\), per cui la funzione presenta in \(x=0\) un punto di discontinuità eliminabile. L’insieme dei valori assunti dalla funzione è l’intervallo \(\left( 0,1 \right]\), per cui la funzione, limitata sia superiormente che inferiormente, presenta un massimo assoluto, cioè \(1\), e un estremo inferiore, cioè \(0\), che però non è un minimo.
Massimo Bergamini