Ricevo da Salvatore la seguente domanda:
Caro Professore,
due domande di analisi:
1) Calcolare il limite per \(x\) tendente a zero di:
\[f\left( x \right)=\frac{1}{1-\cos x}-\frac{1}{{{x}^{2}}}\quad .\]
2) Una finestra ha la forma di un rettangolo sormontato da un semicerchio avente per diametro un lato del rettangolo; il contorno della finestra misura \(l\). Si determinino le dimensioni del rettangolo affinché l'area totale della finestra sia massima.
Grazie per la collaborazione e gentilezza.
Gli rispondo così:
Caro Salvatore,
per quanto riguarda il limite, che si presenta nella forma indeterminata \(+\infty -\infty\), ricordando che \(1-\cos x\) è un infinitesimo asintoticamente equivalente a \(x^2/2\) nel limite per \(x\) che tende a \(0\), possiamo risolvere il limite in questo modo:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{1}{1-\cos x}-\frac{1}{{{x}^{2}}} \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\left( \frac{{{x}^{2}}}{1-\cos x}-1 \right)=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{2}}}\cdot \left( \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}}{1-\cos x}-1 \right)=+\infty \cdot \left( 2-1 \right)=+\infty \quad .\]
Riguardo al problema di massimo, detti \(x\) il lato del rettangolo coincidente con il diametro del semicerchio e \(y\) l’altro lato, si ha \[x+\frac{\pi x}{2}+2y=l\to y=\frac{l}{2}-\frac{x}{2}-\frac{\pi x}{4}\to S\left( x \right)=\frac{l}{2}x-\frac{4+\pi }{8}{{x}^{2}}\]
essendo \(S(x)\) l’area della finestra. Passando alla derivata:
\[S'\left( x \right)=\frac{l}{2}-\frac{4+\pi }{4}x=0\leftrightarrow x=\frac{2l}{4+\pi }\to y=\frac{2l}{4+\pi }\]
che, come si può verificare analizzando il segno di \(S’(x)\), rappresenta il massimo relativo richiesto.
Massimo Bergamini