Ricevo da Monica la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non sono stata in grado di risolvere questo problema di geometria analitica legato all'iperbole, spero che lei mi possa dare una mano.
Rappresenta nel piano cartesiamo gli archi di iperbole di equazione \({{x}^{2}}-\frac{{{\left( y-10 \right)}^{2}}}{100}=1\) delimitati dall'asse delle ascisse nei punti \(A\) e \(B\) con \(x_A<x_B\) e dalla retta \(y=12\) con \(C\) e \(D\), con \(x_C<x_D\). Evidenziare la zona delimitata dalle due rette tangenti all'iperbole nei punti \(C\) e \(D\). Successivamente scrivere l'equazione della porzione del fascio di rette generato dalle rette, compreso tra le tangenti stesse.
Le rispondo così:
Cara Monica,
l’equazione data rappresenta una iperbole canonica di semiasse focale di lunghezza \(1\) e semiasse trasverso di lunghezza \(10\), il cui centro è “traslato” nel punto \(O(0,10)\), i cui vertici sono i punti \(\left( \pm 1,10 \right)\) e i cui asintoti sono le rette \(y=\pm 10x+10\). Le intersezioni con le rette \(y=0\) e \(y=12\) definiscono gli estremi \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\) degli archi da rappresentare: \[A\left( -\sqrt{2},0 \right),\ B\left( \sqrt{2},0 \right),\ C\left( -\frac{\sqrt{26}}{5},12 \right),\ D\left( \frac{\sqrt{26}}{5},12 \right)\quad .\]
Nella figura, per comodità di rappresentazione, l’unità sull’asse delle \(y\) è in scala \(1:5\) rispetto a quella lungo l’asse \(x\).
Usando la formula di sdoppiamento, possiamo trovare le equazioni delle rette tangenti in \(C\) e \(D\) all’iperbole, cioè \[y=\pm 10\sqrt{26}x-40\quad .\]
Tali rette si incontrano nel punto \(E(0,-40)\), centro del fascio proprio di equazione \(y=mx-40\): la porzione di tale fascio costituita dalle rette comprese tra le tangenti, non intersecanti l’iperbole, è definita dalla condizione \(m<-10\sqrt{26}\vee m>10\sqrt{26}\).
Massimo Bergamini