Ricevo da Giuliana la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
avrei un quesito che non riesco a svolgere:
Sia \(C\) una circonferenza di centro \(O\) e \(t\) una retta qualsiasi. Sia \(f: C\rightarrow C\) la funzione che associa a ogni punto \(P\) della circonferenza \(C\) il punto \(P'\) di \(C\) diametralmente opposto (ossia tale che \(P\), \(O\), \(P'\) siano allineati) e sia inoltre \(g:C \rightarrow C\) la funzione che associa a ogni punto \(Q\) della circonferenza \(C\) il punto \(Q'\) di \(C\) tale che \(QQ'\) sia parallelo a \(t\). Dimostrare che coincidono le due funzioni composte: \(g\circ f\) e \(f\circ g\).
Sia poi \(s\) una retta perpendicolare a \(t\) e sia \(h: C \rightarrow C\) la funzione che associa a ogni punto \(R\) della circonferenza \(C\) il punto \(R'\) di \(C\) tale che \(RR'\) sia parallelo a \(s\). Dimostrare che \(h=g\circ f=f\circ g\). Potrebbe aiutarmi?
Le rispondo così:
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Cara Giuliana,
con riferimento alla figura, indichiamo per comodità di notazione \(P’=f(P)=P_0\), \(g(P)=P_1\), \(h(P)=P_2\). Osserviamo che, nel linguaggio delle trasformazioni geometriche, \(P_0\) è il corrispondente di \(P\) nella simmetria centrale di centro \(O\), mentre \(P_1\) e \(P_2\) sono i corrispondenti di \(P\) nelle simmetrie assiali di assi le rette \(s’\) e \(t’\), parallele di \(s\) e \(t\) passanti per \(O\), rispettivamente. Procediamo in questo modo “inverso”, premettendo che ciascuna delle funzioni in questione, in quanto corrispondente ad una simmetria, è invertibile e coincide con la propria inversa, cioè vale per ciascuna di esse la seguente: \(f={{f}^{-1}}\to f\circ {{f}^{-1}}={{f}^{-1}}\circ f=i\), dove \(i\) indica la funzione identità. Osserviamo che il punto \(P_0=f(P)\) deve coincidere sia con il punto \(h(g(P))\) che si ottiene operando su \(P\) prima con \(g\) e poi con \(h\), sia con il punto \(g(h(P))\) che si ottiene operando su \(P\) prima con \(h\) e poi con \(g\), in conseguenza della complementarità degli angoli \(\alpha=PP_1O\) e \(\beta=OP_1P_0\), che implica il fatto che i triangoli \(PP_1P_0\) e \(PP_2P_0\) debbano essere entrambi rettangoli, cioè inscritti in semicirconferenze della stessa circonferenza: avendo un estremo dell’ipotenusa in comune (il punto \(P\)), non può che essere in comune anche l’altro (il punto \(P_0\)), dovendo essere il secondo estremo di un diametro. In sintesi: \(f=h\circ g=g\circ h\), che è la seconda delle due tesi, da cui:
\[f\circ g=f\circ {{g}^{-1}}=h\circ g\circ {{g}^{-1}}=h\circ i=h\;,\quad g\circ f={{g}^{-1}}\circ f={{g}^{-1}}\circ g\circ h=i\circ h=h\] cioè \(f\circ g=g\circ f\), che è la prima delle due tesi.
Massimo Bergamini