Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho saputo risolvere questo quesito:
In una circonferenza di centro \(O\) è inscritto il triangolo \(ABC\) che ha l’area di \(504\,cm^2\) e l’altezza \(CH\) relativa ad \(AB\) di \(21\,cm\). Sapendo che la retta di Eulero è parallela ad \(AB\), determinare la zona sferica limitata dai piani condotti per \(A\) ed \(O\) perpendicolarmente a \(CH\) sulla superficie di centro \(O\) e raggio \(OB\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
ricordiamo preliminarmente che in un triangolo qualsiasi baricentro, ortocentro e circocentro sono allineati su una retta detta retta di Eulero del triangolo. Dalle ipotesi si deduce immediatamente che \(AB=48\,cm\). Per individuare il terzo vertice \(C\), e di conseguenza la circonferenza circoscritta al triangolo \(ABC\), possiamo procedere per via analitica, inserendo la figura in un riferimento \(xy\) centrato nel punto \(A\), con \(B\) nel punto di coordinate \((48,0)\) e \(C\) appartenente alla retta \(y=21\). Detta \(AK\) l’altezza relativa al lato \(BC\), detta \(t\) l’ascissa di \(C\), e detto \(Q\) l’ortocentro, essendo anche \(t=AH\), la similitudine \(AH:QH=CH:HB\) permette di ricavare l’ordinata \(y=QH\) dell’ortocentro \(Q\) in termini di \(t\): \[QH=\frac{AH\cdot HB}{CH}\to y=\frac{t\left( 48-t \right)}{21}\to y=-\frac{{{t}^{2}}}{21}+\frac{16}{7}t\quad .\]
Il circocentro \(O\), appartenendo all’asse di \(AB\), ha certamente ascissa \(24\); la sua ordinata si può ricavare dall’equazione dell’asse, ad esempio, del lato \(AC\): posto \(t=AH\), si ha che la perpendicolare nel punto medio di \(AC\) ha equazione\[y=\frac{21}{2}-\frac{t}{21}\left( x-\frac{t}{2} \right)\]che, per \(x=24\), vale \[y=\frac{21}{2}-\frac{t}{21}\left( 24-\frac{t}{2} \right)=\frac{{{t}^{2}}}{42}-\frac{8}{7}t+\frac{21}{2}\quad .\]Pertanto, la condizione di parallelismo tra \(AB\) e la retta di Eulero congiungente \(Q\) e \(O\) si traduce nella condizione che le ordinate di tali punti coincidano, cioè nell’equazione per \(t\): \[-\frac{{{t}^{2}}}{21}+\frac{16}{7}t=\frac{{{t}^{2}}}{42}-\frac{8}{7}t+\frac{21}{2}\to 3{{t}^{2}}-144t+441\to {{t}_{1,2}}=24\pm \sqrt{429}\quad .\]I due valori dell’ascissa di \(C\) corrispondono a triangoli simmetrici ed equivalenti ai fini delle richieste del problema, perciò possiamo assumere che \(C\) abbia ascissa \(24-\sqrt{429}\). Per determinare il raggio \(r=OA\) della circonferenza circoscritta, possiamo ricorrere al teorema della corda, ricordando che il diametro di tale circonferenza è pari al rapporto tra una sua corda, ad esempio \(BC\), e il seno del relativo angolo alla circonferenza, in tal caso l’angolo di vertice \(A\) e seno pari a \(CH/AC\). Pertanto, ricavando con Pitagora le lunghezze dei lati \(AC\) e \(BC\), si ottiene: \[r=OA=\frac{BC\cdot AC}{2CH}=25\ cm\]da cui, ricordando la formula per la superficie laterale \(S_L\) della zona sferica a due basi, di altezza \(h\) (pari nel nostro caso a \(OM=7\,cm\)) appartenente ad una sfera di raggio \(r\), si ha: \[{{S}_{L}}=2\pi rh=350\pi \ c{{m}^{2}}\quad .\]
Massimo Bergamini