Ricevo da Sara la seguente domanda:
Carissimo professore,
non riesco a discutere il seguente problema:
Un triangolo isoscele \(AOB\), i cui lati conguenti \(OA\) e \(OB\) sono lunghi \(a\) e il cui angolo al vertice è \(2x\), ruota attorno a una retta passante per \(O\), situata nel suo piano, che non lo attraversa e formante con \(OA\) un angolo uguale ad \(x\).
Calcolare in funzione di \(a\) e di \(x\) la superficie generata dal perimetro del triangolo.
Determinare \(x\) in modo che, essendo \(OH\) l'altezza del triangolo, sia \(k\) il rapporto fra questa superficie e quella del cerchio di raggio \(OH\). Esaminare il caso particolare: \(k=4+2\sqrt{2}\).
Le rispondo così:
Cara Sara,
con riferimento alla figura, osserviamo che la rotazione del triangolo \(AOB\) genera una superficie formata dall’unione di due superfici coniche, una di raggio di base \(MB\) e apotema \(OB\), l’altra di raggio \(NA\) e apotema \(OA\), e di una superficie tronco-conica, di raggi di base \(MB\) e \(NA\) e apotema \(AB\). Poiché si ricava che:
\[MB=a\sin 3x\quad NA=a\sin x\quad AB=2a\sin x\quad OA=OB=a\]
ricordando le opportune formule, possiamo esprimere la superficie totale \(S(x)\) della figura in questo modo:
\[S\left( x \right)=\pi {{a}^{2}}\sin 3x+\pi {{a}^{2}}\sin x+2\pi {{a}^{2}}\sin x\left( \sin x+\sin 3x \right)\]
cioè \[S\left( x \right)=3\pi {{a}^{2}}\sin x{{\cos }^{2}}x-\pi {{a}^{2}}{{\sin }^{3}}x+2\pi {{a}^{2}}\sin x+2\pi {{a}^{2}}{{\sin }^{2}}x+6\pi {{a}^{2}}{{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x-2\pi {{a}^{2}}{{\sin }^{4}}x+\pi {{a}^{2}}\sin x\ .\]Dividendo \(S(x)\) per \(\pi {{a}^{2}}{{\cos }^{2}}x\), che rappresenta la superficie del cerchio di raggio \(OH=a\cos x\), si ottiene l’equazione richiesta: \[3\sin x-\frac{{{\sin }^{3}}x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{2{{\sin }^{2}}x}{{{\cos }^{2}}x}+6{{\sin }^{2}}x-2\frac{{{\sin }^{4}}x}{{{\cos }^{2}}x}+\frac{\sin x}{{{\cos }^{2}}x}=k\]equazione che può essere notevolmente semplificata: \[3\sin x+6{{\sin }^{2}}x+\frac{\sin x\left( 1+2\sin x \right)\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}{{{\cos }^{2}}x}=k\to \] \[\to 3\sin x+6{{\sin }^{2}}x+\sin x+2{{\sin }^{2}}x=k\to 8{{\sin }^{2}}x+4\sin x-k=0\quad .\]
Ricordando che il problema ha significato per \(0<x<\pi/2\), poniamo \(X=\sin x\) e \(Y=X^2\) e discutiamo il seguente sistema: \[\left\{ \begin{array}{lll} 8Y+4X-k=0 \\ Y=X^2 \\ 0< X <1 \end{array} \right.\]
che equivale ad individuare le intersezioni di un fascio di rette improprio con un arco di parabola. Facilmente si ricava che la retta del fascio incontra una e una sola volta l’arco di parabola per i valori di \(k\) tali che \(0<k<12\). In particolare per \(k=4+2\sqrt{2}\) si ha l’equazione \(4{{X}^{2}}+2X-2-\sqrt{2}=0\), la cui soluzione accettabile \(X=\sqrt{2}/2\) implica \(\sin x=\sqrt{2}/2\to x=\pi /4\): la superficie ottenuta per rotazione si presenta in tal caso come un cilindro con una cavità a forma di “clessidra” doppio-conica.
Massimo Bergamini