Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi aiuti a risolvere questo quesito:
Sull’ipotenusa \(BC\) di un triangolo rettangolo \(ABC\) si prenda il punto \(E\) in modo che \(AB=2BE\) e sul cateto minore \(AC=15\,cm\) si prenda il punto \(F\) in modo che, detta \(M\) l’intersezione dei segmenti \(AE\) e \(BF\), si abbia \(BM=MF\). Sapendo che il quadrangolo \(EMFC\) è inscrittibile in una circonferenza provare che \(AC=CE\) e determinare l’area della superficie laterale della piramide di vertice \(V\), base \(EMFC\) e altezza \(VF=8\,cm\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, si osserva che l’ipotesi che \(AM\) sia mediana relativa al lato \(BF\) del triangolo rettangolo \(ABF\) implica che \(AM=MB=MF\), in quanto raggi della circonferenza circoscritta al triangolo rettangolo stesso, il cui diametro è l’ipotenusa \(BF\), per cui i triangoli \(ABM\) e \(AMF\) risultano isosceli. Posto \(\alpha =A\hat{B}M=B\hat{A}M\), si ha quindi che \(A\hat{F}M=M\hat{F}A=\frac{\pi }{2}-\alpha\) e \(C\hat{F}M=\frac{\pi }{2}+\alpha\): dall’ipotesi di inscrivibilità del quadrangolo \(EMFC\) discende subito che \(M\hat{E}C=\pi -C\hat{F}M=\frac{\pi }{2}-\alpha\), pertanto anche il triangolo \(ACE\) è isoscele di base \(AE\), da cui la tesi, \(AC=CE=15\,cm\). Ora, sfruttando l’ipotesi \(y=BE=AB/2\), possiamo ricavare l’equazione: \({{15}^{2}}+4{{y}^{2}}={{\left( 15+y \right)}^{2}}\Rightarrow y=10\ cm\). Il triangolo \(ABC\) ha pertanto lati le cui misure in cm sono \(AB=20\), \(AC=15\), \(BC=25\). Poiché \(A\hat{C}B=2\alpha\), si ha \(\cos 2\alpha =\frac{3}{5}\), da cui, con note formule, \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{5}\) e \(\cos \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}\); possiamo quindi completare le misure del quadrangolo \(EMFC\): \[CE=15\quad FM=MG/\cos \alpha =5\sqrt{5}\quad FC=AC-FA=5\quad ME=AE-AM=\sqrt{5}\ .\]La piramide di base \(EMFC\) e altezza \(VF\) ha per facce due triangoli rettangoli \(VFC\) e \(VFM\) di area rispettivamente \(20\) e \(20\sqrt{5}\) cm2, mentre le altre due facce sono i triangoli \(VME\) e \(VCE\), aventi in comune il lato \(VE=4\sqrt{14}\), misura ricavata applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo \(VFE\), dopo aver ricavato con il teorema di Carnot applicato al triangolo \(FCE\)) la misura di \(FE=4\sqrt{10}\); gli altri lati si ricavano con Pitagora: \(MV=3\sqrt{21}\), \(VC=\sqrt{89}\). Ora le aree dei triangoli \(VME\) e \(VCE\) possono essere ricavate o con la formula di Erone o ricavando il seno di uno degli angoli interni per ricavare una delle altezze: comunque si ottengono rispettivamente i valori \(6\sqrt{5}\) e \(30\sqrt{5}\), per una superficie laterale totale pari a \(20+56\sqrt{5}\) cm2.
Massimo Bergamini