Ricevo da Pia la seguente domanda:
Un rettangolo di base \(2a\) e altezza \(a\) ruota intorno ad una retta passante per un suo vertice situata nel suo piano, che non lo attraversa e formante con l'altezza del rettangolo l'angolo \(x\). Determinare \(x\) in modo che il volume del solido ottenuto sia in rapporto \(k\) col volume della sfera di raggio \(a\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Pia,
con riferimento alla figura, in cui si ha \(x=J\hat{A}D\) e \(0\leq x\leq \pi/2\), si osserva che si tratta di calcolare il volume di un solido formato da due tronchi di cono aventi la stessa base, a cui vanno sottratti due coni. Risulta però più agevole ai fini del calcolo del volume \(V(x)\) considerare tale volume come differenza tra il volume di un doppio cono di altezza complessiva \(ML\) e base il cerchio di raggio \(CK\) e i volumi di due doppi coni, l’uno di altezza complessiva \(MA\) e raggio di base \(DJ\), l’altro di altezza complessiva \(AL\) e raggio di base \(BH\). Poiché:
\[MA=\frac{a}{\cos x},DJ=a\sin x,AL=\frac{2a}{\sin x},BH=2a\cos x,ML=\frac{a\left( \sin x+2\cos x \right)}{\sin x\cos x},CK=a\left( \sin x+2\cos x \right)\]si ha: \[V\left( x \right)=\frac{\pi {{a}^{3}}}{3}\left[ \frac{{{\left( \sin x+2\cos x \right)}^{3}}-8{{\cos }^{3}}x-{{\sin }^{3}}x}{\sin x\cos x} \right]=2\pi {{a}^{3}}\left( \sin x+2\cos x \right)\quad .\]Ne consegue che l’equazione cercata è: \[6\cos x+3\sin x-2k=0\quad \quad 0\le x\le \frac{\pi }{2}\]equazione che, posto \(X=\cos x\) e \(Y=\sin x\), si può vedere, nel piano \(XY\), come l’intersezione del fascio improprio di rette \(Y=-2X+2k/3\) con l’arco di circonferenza unitaria compreso nel primo quadrante. Osservando la rappresentazione grafica del problema, si conclude che per \(3/2\leq k<3\) si ha una sola soluzione, mentre per \(3\leq k \leq 3\sqrt{5}/2\) se ne hanno due (coincidenti nel caso estremo).
Massimo Bergamini