Ricevo da Maria la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere il seguente problema (n.188, pag.196, Matematica.blu 1):
In una provincia ci sono 14 campeggi. Di essi 1 ha solo la piscina, 1 ha solo la piscina e il campo da tennis, 2 solo il tennis, 1 ha solo il tennis e il campo da calcio, 4 solo il campo da calcio, 2 solo il campo da calcio e la piscina. Due campeggi non hanno nessuno di questi impianti. Cerca il numero dei campeggi che hanno: a) il campo da calcio; b) la piscina; c) il campo da tennis; d) almeno un impianto; e) solo un impianto; f) almeno due impianti.
La ringrazio per il suo aiuto.
Maria
Le rispondo così:
Cara Maria, aiutiamoci con l’usuale diagramma di Venn, in cui \(P\) rappresenta l’insieme dei campeggi che hanno (almeno) la piscina, \(T\) l’insieme di quelli che hanno (almeno) il tennis, \(C\) l’insieme di quelli che hanno (almeno) il campo da calcio. Ognuno di tali insiemi è suddiviso in quattro sottoinsiemi disgiunti che rappresentano tutte le possibili condizioni logiche in cui si può trovare un elemento dell’insieme; in totale, comprendendo il complementare dell’unione di \(P\), \(T\), \(C\) (cioè l’insieme di quei campeggi che non hanno alcun impianto sportivo), si hanno 8 sottoinsiemi disgiunti, di cui si devono individuare le cardinalità. Sette delle informazioni a disposizione consentono di inserire la cardinalità in sette di tali sottoinsiemi, e l’informazione iniziale sul numero totale di campeggi consente di completare anche la cardinalità del sottoinsieme centrale, relativo ai campeggi dotati di tutti e tre i tipi di impianto. Fatto questo, è piuttosto semplice rispondere alle domande, sommando le opportune cardinalità:
a) \(\#C=2+1+1+4=8\);
b) \(\#P=1+1+1+2=5\);
c) \(\#T=1+1+1+2=5\);
d) \(\#\left( P\cup T\cup C \right)=1+1+1+1+2+2+4=12\);
e) \(\#\left( P-T\cup C \right)+\#\left( T-P\cup C \right)+\#\left( C-P\cup T \right)=1+2+4=7\);
f) \(\#\left( \left( P\cap C \right)\cup \left( P\cap T \right)\cup \left( C\cap T \right) \right)=1+1+1+2=5\).
Massimo Bergamini