Ricevo da Marcello la seguente domanda:
Gentile professore,
le sarei grato se volesse aiutarmi a risolvere questi problemi (Matematica.azzurro, Vol1 pag.143 G, n.53 e n.54, Vol.2 pag.162G, n11).
1) Nel triangolo \(ABC\), \(AH\) e \(BK\) sono le altezze relative ai lati \(BC\) e \(AC\). Sia \(M\) il punto medio di \(AB\). Dimostra che \(MHK\) è isoscele.
2) Disegna un trapezio \(ABCD\) con la base maggiore \(AB\) doppia della base minore \(CD\). Traccia la congiungente i punti medi dei lati obliqui \(AD\) e \(BC\). Dimostra che tale congiungente è divisa in tre segmenti congruenti dalle diagonali del trapezio.
3) Indica con \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) i punti medi di un parallelogramma \(ABCD\). Dimostra che \(ABCD\) è equivalente al doppio del parallelogramma \(PQRS\).
Grazie
Gli rispondo così:
Caro Marcello,
nel primo caso è sufficiente osservare che, sia nel caso che \(ABC\) sia acutangolo, sia nel caso sia ottusangolo, i triangoli rettangoli \(ABH\) e \(ABK\) condividono la stessa ipotenusa \(AB\), e pertanto sono inscritti nella stessa circonferenza di diametro \(AB\) e centro il punto medio \(M\): ne consegue che \(MH\cong MK\cong AB/2\), in quanto raggi di tale circonferenza, e quindi \(MHK\) è isoscele con base \(HK\), C.V.D.
Nel secondo caso, detti \(M\) ed \(N\) i punti medi dei lati \(AD\) e \(BC\) rispettivamente, siano \(P\) e \(Q\) le intersezioni di \(MN\) con le diagonali \(AC\) e \(BD\). Per l’inverso del teorema di Talete, \(MN\parallel AB\parallel DC\), e di conseguenza \(MP\parallel DC\), \(QN\parallel DC\), \(PN\parallel AB\). Consideriamo il triangolo \(ADC\): per un corollario del teorema di Talete, \(MP\), in quanto parallela a \(DC\) e congiungente i punti medi di \(AD\) (per ipotesi) e \(AC\) (teorema di Talete), risulta congruente alla metà di \(DC\), cioè \(MP\cong DC/2\). Con analogo ragionamento, considerando i triangoli \(BDC\) e \(ACB\), si ricava che \(QN\cong DC/2\) e \(PN\cong AB/2\cong DC\) (per ipotesi), da cui \(PQ=PN-QN\cong DC-DC/2\cong DC/2\). In conclusione: \(MP\cong PQ\cong QN\cong DC/2\), C.V.D.
Nell’ultimo caso, si traccino le congiungenti i punti medi dei lati opposti del parallelogramma e si osservi che i quadrilateri \(ABQS\), \(PBCR\), \(QCDS\), \(RDAP\) sono parallelogrammi, in quanto ciascuno di essi ha una coppia di lati parallei e congruenti (\(AS\) e \(BQ\), \(PB\) e \(RC\),…), quindi \(QS\parallel AB\parallel DC\) e \(QRP\parallel AD\parallel BC\): detto \(O\) il punto di incontro tra \(SQ\) e \(PR\), ne consegue che i quattro quadrilateri \(APOS\), \(PBQO\), \(QCRO\), \(RDSO\) sono parallelogrammi congruenti, ciascuno dei quali è suddiviso in una coppia di triangoli congruenti (per il 1° criterio) da uno dei lati del parallelogramma \(PQRS\), cioè
\[SDR\cong SOR\cong RCQ\cong ROQ\cong QOP\cong PQB\cong POS\cong PAS\]e poiché \(PQRS\cong SOR\cup ROQ\cup QOP\cup POS\), si conclude che \(PQRS\) è equivalente alla metà di \(ABCD\), C.V.D.
Massimo Bergamini