Ricevo da Samuele la seguente domanda:
Caro professore,
le vorrei proporre due problemi in cui non riesco a risolvere il medesimo quesito.
1) Verifica che la relazione \(R\): “\(x\) ha perimetro maggiore di \(y\)”, nell'insieme \(A\) delle figure di un piano è una relazione d’ordine. Largo o stretto? Totale o parziale?
2) Verifica che la relazione \(R\): “\(x\) ha estensione minore di \(y\)”, nell'insieme \(A\) delle figure di un piano è una relazione d’ordine. Largo o stretto? Totale o parziale?
Ho capito che sono entrambe strette poiché antiriflessive, antisimmetriche e transitive. Però non riesco a individuare un criterio per vedere se la relazione è totale o parziale. Mi potrebbe dare delle delucidazioni che mi aiutino a risolvere anche problemi analoghi? Grazie in anticipo.
Gli rispondo così:
Caro Samuele,
per stabilire se una relazione d'ordine è parziale o totale devi fare un semplice esperimento mentale: considerati due elementi distinti qualsiasi dell'insieme, diciamo \(x\) e \(y\) con \(x\neq y\), è comunque possibile porli in relazione secondo \(R\), in un senso o nell'altro, cioè o \(xRy\) o \(yRx\)?
Nel caso 1), se \(R\) significa avere perimetro strettamente maggiore, è chiaro che poichè esistono figure del piano distinte che hanno lo stesso perimetro, esistono coppie \(x\) e \(y\) di elementi di \(A\) che non sono in relazione in alcun modo, cioè nè \(xRy\) nè \(yRx\), quindi \(R\) è d'ordine parziale.
Per lo stesso motivo, poichè si danno ovviamente figure piane distinte ma equiestese, anche nel caso 2) si tratta di un ordine parziale.
Nota che la specifica richiesta che gli elementi da confrontare siano distinti, implica che la proprietà parziale/totale non inluenza la proprietà riflessiva/antiriflessiva, cioè la caratteristica stretto/largo: ad esempio, nell’insieme dei numeri reali, sia la relazione \(R_1\): “\(x\) minore o uguale di \(y\)", d’ordine largo in quanto riflessiva, sia la relazione \(R_2\): “\(x\) minore di \(y\)", d’ordine stretto in quanto antiriflessiva, sono ordinamenti totali, poiché qualsiasi coppia di elementi distinti può essere “messa in ordine” in un ideale allineamento: per questo motivo l’ordine totale è anche detto lineare.
Massimo Bergamini