Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
mi può aiutare a risolvere questi quesiti?
1) Siano dati una sfera di raggio \(r\) ed un cono equilatero di vertice \(V\) in essa inscritto. A quale distanza da \(V\) si deve condurre un piano parallelo alla base del cono affinchè l’area della corona circolare limitata dalle due circonferenze sezioni del piano con la superficie sferica e con la superficie conica sia massima?
2) In una semicirconferenza di diametro \(AB=2r\) condurre una corda \(CD\) parallela ad \(AB\) in modo che il tronco di cono generato dalla rotazione di \(180^\circ\) del trapezio \(ABCD\) attorno all’asse \(AB\) del diametro abbia area laterale massima.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo caso, posto \(AB=VB=2a\) e \(VK=x\), con \(0\leq x \leq a\sqrt{3}\), si ricava che \(PK=\tan \left( 30{}^\circ \right)x=x\sqrt{3}/3\), e \(LK=\sqrt{{{r}^{2}}-{{\left( r-x \right)}^{2}}}=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui la superficie \(S(x)\) della corona circolare è \(S\left( x \right)=\pi \left( 2rx-{{x}^{2}} \right)-\pi {{x}^{2}}/3=\pi \left( 2rx-4{{x}^{2}}/3 \right)\). Derivando e analizzando zeri e segno della derivata, si ha: \[S'\left( x \right)=\pi \left( 2r-\frac{8}{3}x \right)\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{3}{4}r\] valore che corrisponde al massimo cercato.
Nel secondo caso, posto \(B\hat{O}C=x\), con \(0\leq x\leq \pi/2\), si ha \(BC=2r\sin \left( x/2 \right)\) e \(KC=r\cos \left( x \right)\). Ricordando che la superficie laterale di un tronco di cono di apotema \(a\) e raggi di base \(r_1\) e \(r_2\) è \(S=\pi a(r_1+r_2)\), si ha: \[S\left( x \right)=\pi 2r\sin \left( \frac{x}{2} \right)\left( r+r\cos x \right)\quad .\] Derivando si ha: \[S'\left( x \right)=2\pi {{r}^{2}}\left( \frac{1}{2}\cos \frac{x}{2}\left( 1+\cos x \right)-\sin \frac{x}{2}\sin x \right)=2\pi {{r}^{2}}\cos \frac{x}{2}\left( 3{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}-2 \right)\] avendo utilizzato le identità \(1+\cos x=2{{\cos }^{2}}\frac{x}{2}\) e \(\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\). Analizziamo zeri e segno della derivata per individuare il massimo relativo di \(S(x)\): \[{S}'\left( x \right)=0\leftrightarrow \cos \frac{x}{2}=0\vee \cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}\quad .\] Il solo valore accettabile e corrispondente ad un massimo è \(x=2\arccos \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)\), equivalente ad un angolo di circa \(70,53{}^\circ\).
Massimo Bergamini