Ricevo da Leonardo la seguente domanda:
Gentilissimo professore,
non riesco a risolvere questo esercizio (Matematica blu, vol.4, pag. 875, n. 135). Potrebbe aiutarmi?
\(P\) è un punto variabile su una semicirconferenza di raggio \(2\) e \(H\) la sua proiezione sul diametro \(AB\).
a) Studia la funzione \(f(x)=PH+HB\) al variare dell’angolo \(x=P\hat{A}H\) e rappresenta il tratto di grafico che si riferisce al problema.
a) Studia la funzione \(f(x)=PH+HB\) al variare dell’angolo \(x=P\hat{A}H\) e rappresenta il tratto di grafico che si riferisce al problema.
b) Trova per quali valori di \(x\) il valore della funzione è minore della misura del raggio.
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Leonardo,
posto che \(0\leq x< \pi/2\), si ha che, essendo il triangolo \(ABP\) rettangolo in \(P\), \(PA=AB\cos x=4\cos x\) e \(PB=AB\sin x=4\sin x\) , per cui:\[PH=AP\sin x=4\sin x\cos x=2\sin 2x\quad \quad HB=PB\sin x=4{{\sin }^{2}}x=2-2\cos 2x\quad .\] La funzione \(f(x)=PH+HB\), utilizzando la tecnica delll’angolo aggiunto, si può sintetizzare nel modo seguente: \[f\left( x \right)=2\left( \sin 2x-\cos 2x \right)+2=2\sqrt{2}\sin \left( 2x-\frac{\pi }{4} \right)+2\]la cui rappresentazione nell’intervallo \(\left[ 0,\frac{\pi }{2} \right[\) è la seguente:
Infine, la richiesta \(f(x)<2\) si traduce nella disequazione \(\sin \left( 2x-\pi /4 \right)<0\), la cui soluzione generale è data dall’insieme degli \(x\) tali che \(\frac{5}{8}\pi +k\pi <x<\frac{9}{8}\pi +k\pi\); di questi, solo l’intervallo \(0\le x<\frac{\pi }{8}\) rispetta la limitazione \(0\leq x < \pi/2\).
Massimo Bergamini