Ricevo da Carlo la seguente domanda:
Salve,
Le chiedo un aiuto nella risoluzione del seguente sistema di disequazioni (Matematica.blu 2.0, Vol.3, n.704, p.70):
Le chiedo un aiuto nella risoluzione del seguente sistema di disequazioni (Matematica.blu 2.0, Vol.3, n.704, p.70):
\[\left\{ \begin{array}{lll} \left| 3x+| 5{{x}^{2}}+2 | \right|\ge 3x \\ \sqrt{1+\sqrt[3]{x-2}}\ge \sqrt{2} \\ \frac{3}{{{x}^{2}}-12x+36}>0 \end{array} \right.\]
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Carlo,
nella prima disequazione il valore assoluto interno è inutile, essendo \(5x^2+2 >0\) per ogni \(x\) reale, e anche il valore assoluto esterno, dal momento che anche \(5x^2+3x+2>0\) per ogni \(x\) reale, essendo negativo il discriminante del trinomio; pertanto, la disequazione equivale a \(5x^2+3x+2\geq 3x\rightarrow 5x^2+2\geq 0\), verificata per ogni \(x\) reale, per quanto osservato. La seconda disequazione equivale alla disequazione tra i quadrati dei due membri (e questo implica anche la condizione di esistenza del radicale): \[1+\sqrt[3]{x-2}\ge 2\to \sqrt[3]{x-2}\ge 1\to x-2\ge 1\to x\ge 3\quad .\]L’ultima disequazione è sempre verificata, eccetto che per \(x=6\), essendo equivalente a \(\frac{1}{{{\left( x-6 \right)}^{2}}}>0\). In conclusione, il sistema ha il seguente insieme di soluzioni: \[S=\left\{ x\ge 3,x\ne 6 \right\}\quad .\]
Massimo Bergamini