Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
può gentilmente aiutarmi a capire questo problema?
Un agricoltore vuole coltivare \(15\) ettari di terreno con due tipi di colture: la spesa richiesta all’ettaro per il primo tipo di prodotto è di €\(10\) per le sementi e di €\(200\) per il lavoro di coltivazione, per il secondo prodotto di €\(15\) per le sementi e di €\(150\) per la coltivazione. Il coltivatore programma di spendere complessivamente non più di €\(210\) per le sementi e non più di €\(2700\) per il lavoro di coltivazione. Calcola come deve ripartire la coltivazione dei \(15\) ettari per minimizzare la spesa e il valore di tale spesa minima.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
si tratta di un tipico problema di programmazione lineare, di cui si può dare un modello geometrico-analitico. Detti \(x\) e \(y\) il numero di ettari da destinare all’uno e all’altro tipo di coltivazione, si ha immediatamente la relazione generale che lega le due incognite, cioè: \(x+y=15\), con \(x,y\geq 0\). Le limitazioni di spesa che si è imposto il coltivatore sono rappresentabili con disequazioni lineari nelle incognite \(x\) e \(y\), cioè: \[10x+15y\le 210\quad \quad \quad 200x+150y\le 2700\quad .\] Tali disequazioni rappresentano ciascuna un semipiano nel riferimento \(xy\), rispettivamente il semipiano dei punti ad ordinata inferiore a quelli della retta \(y=-\frac{2}{3}x+14\) e il semipiano dei punti ad ordinata inferiore a quelli della retta \(y=-\frac{4}{3}x+18\), e quindi l’intersezione di tali semipiani tra loro e con il primo quadrante del riferimento, assegnato dalla condizione \(x\geq 0\) e \(y\geq 0\), definisce una regione convessa \(OPQR\) i cui punti rappresentano le coppie \((x,y)\) di valori compatibili con le limitazioni di spesa; il segmento \(AB\), intersezione tra la regione \(OPQR\) e la retta \(x+y=15\) rappresenta l’insieme di tutte e sole le coppie \((x,y)\) compatibili con l’insieme delle condizioni poste. Ora, la spesa totale \(s\) è espressa, in termini della specifica scelta di \(x\) e \(y\), dalla relazione \(s=210x+165y\), che rappresenta un fascio di rette improprio che “scorre” attraverso il piano dal basso all’alto al crescere del valore di \(s\), parallelamente alla direzione \(m=-14/11\), potendosi scrivere \(y=-\frac{14}{11}x+\frac{s}{165}\). Per individuare la coppia \((x,y)\) che minimizza la spesa \(s\) basta osservare quale sia il punto del segmento \(AB\) che interseca la retta del fascio più “bassa”, cioè corrispondente al minor valore del parametro \(s\): dalla rappresentazione grafica si deduce facilmente che tale punto è l’estremo \(A(3,12)\), corrispondente ad \(s=2610\), cioè coltivando \(3\) ettari col primo tipo di coltura e \(12\) ettari con il secondo, la spesa totale, pari a €\(2610\), è la minima possibile soddisfacente le condizioni imposte.
Massimo Bergamini