Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
mi può aiutare a risolvere questo problema?
Dopo aver disegnato il grafico della seguente funzione \(f(x)\), studiarne la continuità e la derivabilità. Scrivere le equazioni delle tangenti negli eventuali punti angolosi e delle eventuali tangenti parallele all'asse \(y\). \[f\left( x \right):x\to {{e}^{x}}\text{ se }x\le 0,\text{ }\sqrt{x\left| x-1 \right|}\text{ se }x>0\quad .\]
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
la funzione, ovunque definita in \(\mathbb{R}\) e ovunque non negativa, per \(x\leq 0\) coincide semplicemente con \(e^x\), per cui si ha \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\), la funzione è continua per ogni \(x<0\) e anche, ma solamente da sinistra, in \(x=0\), dove \(f(0)=1\). Per \(x>0\), distinguiamo: per \(0<x<1\) si ha \(y=\sqrt{-{{x}^{2}}+x}\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-x=0\), cioè il grafico di \(f(x)\) è la semicirconferenza di centro \((1/2,0)\) e raggio \(1/2\) compresa nel semipiano delle ordinate positive, per cui \(\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0\); per \(x\geq 1\) la funzione coincide con \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-x}\), continua per ogni \(x>1\) e anche da destra in \(x=1\), in cui si ha \(f(1)=0\). Inoltre, essendo \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)/x=1\) e \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( f\left( x \right)-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-x}-x \right)=-1/2\), si ha che il grafico di \(f(x)\) ammette come asintoto obliquo la retta \(y=x-1/2\). Riguardo alla continuità si conclude quindi che l’unico punto in cui il grafico della funzione presenta una discontinuità (di 1° specie) è \(x=0\). Riguardo invece alla derivabilità, la funzione è ovunque derivabile ad eccezione dei punti \(x=0\) (manca la condizione necessaria di continuità) e \(x=1\), dove si ha una cuspide, infatti: \[\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left( -2x+1 \right)/\left( 2\sqrt{-{{x}^{2}}+x} \right)=\frac{-1}{{{0}^{+}}}=-\infty ,\quad \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f'\left( x \right)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( 2x-1 \right)/\left( 2\sqrt{{{x}^{2}}-x} \right)=\frac{1}{{{0}^{+}}}=+\infty \] quindi propriamente in tale punto non si ha una retta tangente verticale ma due semirette tangenti coincidenti, cioè \(x=1\), \(y\geq 0\).
Massimo Bergamini