Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi in questi quesiti:
1) Data la circonferenza di diametro \(AB=2r\) condurre da parti opposte ad \(AB\) le corde \(AC\) e \(AD\) tali che \(B\hat{A}D=2B\hat{A}C=2x\). Considerato il settore circolare \(DAC\), calcolare il limite per \(x\) che tende a zero dalla destra del rapporto (area quadrilatero \(ACBD\))/(area settore \(DOC\) + area triangolo \(AOC\) + area triangolo \(AOD\)).
2) Data la parabola \(\gamma\) di equazione \(y=-x^2+3x+4\), scrivere l’equazione della parabola \(\gamma '\) simmetrica di \(\gamma\) rispetto alla retta \(y=4\) e condurre le tangenti a \(\gamma\) e \(\gamma ’\) nei punti comuni \(A\) (ascissa nulla) e \(B\). Determinare quindi l’area della regione piana limitata dalle tangenti e dalle due parabole. Considerata una retta \(r\) perpendicolare al segmento \(AB\) che incontri le due parabole in \(P\) e \(P '\) e le tangenti in \(A\) in \(T\) e \(T '\), calcolare il limite per \(r\) che tende all’asse \(y\) del rapporto \((PP ')/(TT ')\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
nel primo quesito, poiché \(B\hat{O}C=2x\) e \(B\hat{O}D=4x\), si ha:
\[{{S}_{ACBD}}={{S}_{ABC}}+{{S}_{ABD}}=2{{r}^{2}}\sin x\cos x+2{{r}^{2}}\sin 2x\cos 2x\]
\[S_{ACBD}^{'}={{S}_{DOC}}+{{S}_{AOC}}+{{S}_{AOD}}=3x{{r}^{2}}+{{r}^{2}}\sin x\cos x+{{r}^{2}}\sin 2x\cos 2x\]
avendo ricavato l’area \({S}_{DOC}\) del settore \(DOC\) dalla proporzione: \(6x:2\pi={S}_{DOC}:\pi r^2\). Pertanto:
\[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{S}_{ACBD}}}{S_{ACBD}^{'}}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( \sin 2x+\sin 4x \right)}{\left( 6x+\sin 2x+\sin 4x \right)}=\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{2\left( 2\sin 2x/2x+4\sin 4x/4x \right)}{\left( 6+2\sin 2x/2x+4\sin 4x/4x \right)}=\frac{12}{12}=1\quad .\]
Nel secondo quesito, ricavata facilmente \(\gamma ': y=x^2-3x+4\), si ottengono \(A(0,4)\) e \(B(3,4)\), e le relative coppie di tangenti in \(A\) e in \(B\): \(y=3x+4\), \(y=-3x+4\), \(y=3x-5\), \(y=-3x+13\). Le tangenti si incontrano, oltre che in \(A\) e \(B\), nei punti \(C(3/2,17/2)\) e \(D(3/2,-1/2)\), tali che \(ABCD\) è un rombo. L’area \(S\) della regione piana limitata dalle tangenti e dalle due parabole si può ricavare sottraendo all’area del rombo \(ABCD\) il doppio dell’area del segmento parabolico definito su \(\gamma\) dalla corda \(AB\):
\[S=2\left( {{S}_{ABC}}-{{S}_{AB}} \right)=2\left( \frac{27}{4}-\frac{2}{3}\cdot \frac{27}{4} \right)=\frac{9}{2}\quad .\]
Sia \(x=k\) l’equazione della retta \(r\), che definisce sulle parabole e sulle tangenti i segmenti
\[PP'=-{{k}^{2}}+3k+4-\left( {{k}^{2}}-3k+4 \right)=6k-2{{k}^{2}},\ TT'=3k+4-\left( -3k+4 \right)=6k\] per cui:
\[\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{PP'}{TT'}=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{6k-2{{k}^{2}}}{6k}=\underset{k\to 0}{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\frac{k}{3} \right)=1\quad .\]
Massimo Bergamini