Ricevo da Carlo la seguente domanda:
Buongiorno professore,
non riesco a risolvere il seguente esercizio (Matematica.blu.2.0, vol.3, pag.233, n.539):
Scrivi l’equazione della retta appartenente al fascio proprio di rette di centro \((1;1)\) che forma con le rette \(x+y+1=0\) e \(x=2\) un triangolo di area \(2\).
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Carlo,
poiché una retta parallela all’asse \(y\) non può formare con le rette assegnate un triangolo, possiamo scrivere l’equazione del fascio proprio di centro \(O(1;1)\) in modo esplicito, cioè nella forma \(y-1=m(x-1)\rightarrow y=mx-m+1\), senza perdere generalità. Ricaviamo, in funzione di \(m\), le intersezioni \(B\) e \(C\) della retta del fascio con le rette \(x=2\) e \(x+y+1=0\) rispettivamente, risolvendo gli opportuni sistemi; si ottiene: \[B\left( 2;m+1 \right)\quad \quad C\left( \frac{m-2}{m+1};\frac{-2m+1}{m+1} \right)\quad .\] Posto che \(A(2;-3)\) è l’intersezione tra le rette \(x+y+1=0\) e \(x=2\), possiamo ottenere l’area \(S\) del triangolo \(ABC\) come semiprodotto della base \(AB\) e dell’altezza relativa \(CH\): \[S=\frac{1}{2}AB\cdot CH=\frac{1}{2}\left| m+1-\left( -3 \right) \right|\cdot \left| \frac{m-2}{m+1}-2 \right|=\frac{1}{2}\frac{{{\left| m+4 \right|}^{2}}}{\left| m+1 \right|}\]per cui la condizione \(S=2\) implica: \[{{\left| m+4 \right|}^{2}}=2\left| m+1 \right|\to {{m}^{2}}+8m+16=\pm 2\left( m+1 \right)\to \] \[{{m}^{2}}+4m+12=0,\ m\ge -1\quad \vee \quad {{m}^{2}}+12m+20=0,\ m<-1\quad .\] Delle due equazioni, la prima risulta impossibile, la seconda è risolta per \(m_1=-2\) e \(m_2=-10\), valori entrambi accettabili che forniscono le rette cercate: \[y=-2x+3\quad \quad y=-10x+11\quad .\]Massimo Bergamini