Ricevo da Andrea la seguente domanda:
Gentile professore,
le chiedo il suo aiuto in questo problema con le derivate:
Siano \(A\) e \(B\) i punti di intersezione della parabola \(x=y^2-4y+3\) con l'asse \(y\). Dette \(t\) ed \(s\) le tangenti ad essa in \(A\) e \(B\), e \(C\) il loro punto di intersezione, determinare l'area del triangolo \(ABC\).
Grazie.
Gli rispondo così:
Caro Andrea,
dopo aver accertato che i punti \(A\) e \(B\), le cui ordinate risolvono l’equazione \(y^2-4y+3\), sono \(A(0,1)\) e \(B(0,3)\), possiamo ricavare le equazioni delle rette tangenti alla parabola in tali punti in due modi equivalenti. Possiamo dapprima considerare che la parabola \(x=y^2-4y+3\) è la simmetrica della parabola \(y=x^2-4x+3\) rispetto alla retta \(y=x\), e quindi concludere che le rette \(t\) ed \(s\) cercate sono le corrispondenti, nella stessa simmetria, delle rette \(t’\) ed \(s’\) tangenti alla parabola \(y=x^2-4x+3\) nei punti \(A’(1,0)\) e \(B’(3,0)\), simmetrici di \(A\) e \(B\); le equazioni di tali rette \(t’\) ed \(s’\) si ricavano a partire dai valori della derivata della funzione \(y=x^2-4x+3\), cioè \(y’=2x-4\), in corrispondenza alle ascisse \(x=1\) e \(x=3\): \[t':y=-2x+2\quad \quad s':y=2x-6\] da cui, scambiando \(x\) e \(y\), si ricavano le equazioni delle rette cercate: \[t:x=-2y+2\to y=-\frac{1}{2}x+1\quad s:x=2y-6\to y=\frac{1}{2}x+3\quad .\] Le due rette si incontrano nel punto \(C(-2,2)\), per cui il triangolo \(ABC\) ha area \(2\).
In modo equivalente, si sarebbe potuto esplicitare ciascuno dei due rami della parabola \(x=y^2-4y+3\) come funzione \(y(x)\), e poi procedere con il calcolo della derivata nei punti di ascissa nulla, cioè:
\[y\left( x \right)=2\pm \sqrt{1+x}\to y'\left( x \right)=\pm \frac{1}{2\sqrt{1+x}}\to y'\left( 0 \right)=\pm \frac{1}{2}\]
ottenendo così i coefficienti angolari delle rette tangenti nei punti \(A\) e \(B\) rispettivamente, e concludendo nel modo già visto.
Massimo Bergamini