Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Gentile Professore,
sto affrontando l'argomento delle funzioni goniometriche ma non riesco a risolvere questi esercizi o meglio non riesco a capire come devo svolgerli. Potrebbe aiutarmi ?
Se \(\alpha\) è acuto (\(0^\circ < \alpha < 90^\circ\))) determinare le condizioni a cui deve soddisfare \(k\) affinchè possano essere verificate le seguenti uguaglianze: \[\left( k-1 \right)\tan \alpha ={{k}^{2}}+1\quad \quad \quad 2k\cos \alpha =k-1\quad .\] La ringrazio infinitamente !
Le rispondo così:
Cara Francesca,
per un angolo \(0^\circ < \alpha < 90^\circ\), cioè \(\alpha\) appartenente al 1° quadrante della circonferenza goniometrica, valgono le seguenti limitazioni: \[\tan \alpha >0\quad \quad \quad 0<\cos \alpha <1\] per cui il parametro \(k\) deve soddisfare il seguente sistema di disequazioni: \[\left\{\begin{array}{ll} \frac{{{k}^{2}}+1}{k-1}>0 \\ 0<\frac{k-1}{2k}<1 \end{array} \right.\] equivalente al seguente: \[\left\{\begin{array}{ll} k>1 \\ k<-1\vee k>1 \end{array} \right.\] cioè, in conclusione, \(k>1\) è la condizione sul parametro per la quale sono rispettate tutte le limitazioni richieste.
Massimo Bergamini