Ricevo da Jessica la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
mi aiuta con questa domanda ?
Si considerino le funzioni \(f\left( x \right)=\sqrt{x}\) con \(x\) che appartiene a \(\left[ 1,+\infty \right)\) e \(g\left( x \right)=\ln x\) con \(x\) che appartiene a \(\left( 0,+\infty \right)\).
a) Stabilire se esistono le due funzioni composte \(f\circ g\) e \(g\circ f\).
b) Stabilire se, nel calcolo delle due suddette funzioni composte, cambia qualcosa se la funzione \(f\left( x \right)=\sqrt{x}\) è definita con \(x\) che appartiene a \(\left[ 4,+\infty \right)\).
Le rispondo così:
Cara Jessica,
ricordando che una composizione di funzioni \(f_1\circ f_2\) si può effettuare se e solo se il codominio della funzione a destra (cioè la prima che opera sulla variabile) è un sottoinsieme del dominio della funzione a sinistra (in simboli: \({{C}_{{{f}_{2}}}}\subseteq {{D}_{{{f}_{1}}}}\)) , osserviamo che: \[{{D}_{f}}=\left[ 1,+\infty \right)\quad \quad {{C}_{f}}=\left[ 1,+\infty \right)\quad \quad {{D}_{g}}=\left( 0,+\infty \right)\quad \quad {{C}_{g}}=\left( -\infty ,+\infty \right)\] e quindi \(f\circ g\) non si può fare (\({{C}_{g}}\not\subset {{D}_{f}}\)), mentre si può fare \(g\circ f\) (\({{C}_{f}}\subset {{D}_{g}}\)), e la funzione che si ottiene è la seguente: \[\left( g\circ f \right)\left( x \right)=\ln \sqrt{x},\quad \quad {{D}_{g\circ f}}=\left[ 1,+\infty \right),\ {{C}_{g\circ f}}=\left[ 0,+\infty \right)\quad .\] Se considerassimo un ulteriore restrizione di \(f(x)\) al dominio \(\left[ 4,+\infty \right)\), nulla cambierebbe riguardo alla non componibilità con \(g(x)\) nell’ordine \(f\circ g\), mentre per la funzione \(g\circ f\) questo comporterebbe un cambiamento di dominio e codominio, cioè si otterrebbe una restrizione della funzione ottenuta in precedenza: \[\left( g\circ f \right)\left( x \right)=\ln \sqrt{x},\quad \quad {{D}_{g\circ f}}=\left[ 4,+\infty \right),\ {{C}_{g\circ f}}=\left[ \ln 2,+\infty \right)\quad .\] Massimo Bergamini