Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di spiegarmi questo quesito:
Nel triangolo acutangolo (\ABC\) il lato \(AB\) misura \(27\;cm\), l’altezza \(BP\) relativa ad \(AC\) misura \(18\sqrt{2}\;cm\) e l’altezza \(CQ\) relativa ad \(AB\) misura \(30\sqrt{2}\;cm\). Determinare il perimetro del triangolo. La parallela a \(BC\) condotta dal punto \(M\) di \(AQ\) tale che \(MQ=QB\) interseca \(AC\) in \(N\). Determinare il perimetro del quadrangolo \(PQMN\) e verificare che esso è inscritto in una circonferenza di cui si chiede il raggio.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, consideriamo subito la similitudine tra i triangoli rettangoli \(ABP\) e \(ACQ\), aventi in comune l’angolo acuto di vertice \(A\), da cui: \(AB:BP=AC:CQ\to AC=45\ cm\), e applicando Pitagora: \(AP=9\ cm\), \(AQ=15\ cm\), \(QB=12\ cm\), \(BC=18\sqrt{6}\;cm\); il perimetro di \(ABC\) è quindi \(2p=72+18\sqrt{6}\;cm\).
Anche tra il triangolo \(AMN\) definito dalla parallela al lato \(BC\) e il triangolo \(ABC\) si ha una relazione di similitudine (congruenza di tutti gli angoli), e poiché per ipotesi \(AM=AQ-MQ=15-12=3\;cm\) si ha, per la similitudine suddetta: \(MN=2\sqrt{6}\;cm\), \(PN=PA-AN=9-5=4\;cm\quad\). Ne consegue che anche il triangolo \(\quad APQ\) risulta simile al triangolo \(\quad ABC\quad\), in quanto l’angolo in \(\quad A\quad\) è in comune e i lati adiacenti ad esso sono in proporzione (\(AQ:AP=AC:AB\)), per cui: \(PQ=6\sqrt{6}\;cm\). La similitudine tra \(APQ\) e \(ABC\) implica anche l’inscrivibilità del quadrangolo \(PQMN\), poiché \(A\hat{P}Q=A\hat{B}C=\pi -N\hat{M}B\) (coniugati interni) e \(A\hat{Q}P=\pi -M\hat{N}P\), cioè gli angoli opposti sono supplementari. Infine, l’ulteriore similitudine tra i triangoli \(ANQ\) e \(APB\) (angolo in \(A\) in comune, lati adiacenti in proporzione) implica che il triangolo \(ANQ\) sia rettangolo, e di conseguenza lo sia anche il triangolo \(PNQ\): ne consegue che l’arco \(PNQ\) dell circonferenza circoscritta al quadrangolo \(PQMN\) è una semicirconferenza, e quindi \(PQ\) è diametro di suddetta circonferenza, il cui raggio misura quindi \(3\sqrt{6}\;cm\).
Massimo Bergamini