Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Buongiorno Professore,
avrei questi quesiti che non riesco a svolgere:
a) Nel triangolo isoscele \(ABC\), di base \(BC\), considera un punto \(P\) appartenente alla base \(BC\) e un punto \(Q\) appartenente a un prolungamento di \(BC\). Dimostra che \(AP<AC<AQ\).
b) Dimostra che in un quadrilatero convesso ogni diagonale è minore del semiperimetro, mentre la somma delle diagonali è maggiore del semiperimetro, ma minore del perimetro.
c) Sia \(P\) un punto interno ad un triangolo \(ABC\). Dimostra che \(AP+BP+CP<AB+BC+CA\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Francesca,
con riferimento alla figure, e tenendo presente che in un triangolo ad angolo maggiore sta di fronte lato maggiore e che, di conseguenza, in un triangolo ottusangolo il lato maggiore è quello di fronte all’unico angolo ottuso, nel caso a) consideriamo tre possibilità per l’angolo \(A\hat{P}C\): se \(A\hat{P}C\) è retto, \(AP\) è cateto del triangolo rettangolo \(APC\) di ipotenusa \(AC\), quindi \(AP<AC\), e \(AC<AQ\) poichè il triangolo \(ACQ\) è scuramente ottusangolo nel vertice \(C\), essendo l’angolo \(B\hat{C}A\) acuto in quanto angolo alla base di triangolo isoscele; se \(A\hat{P}C\) è ottuso , discende immediatamente \(AP<AC\), e come prima \(AC<AQ\); se \(A\hat{P}C\) è acuto, è necessariamente ottuso il supplementare \(A\hat{P}B\), da cui \(AP<AB\), ma essendo \(AB=AC\), ne consegue di nuovo \(AP<AC<AQ\), C.V.D.
Nel caso b), dato il quadrilatero convesso \(ABCD\), consideriamo i triangoli \(ABC\), \(BDC\), \(ACD\), \(ABD\) formati dalle diagonali \(AC\) e \(DB\) con i lati, ed esprimiamo per ciascuno le seguenti disuguaglianze triangolari: \[AC<AB+BC\quad DB<BC+DC\quad AC<DC+AD\quad DB<AD+AB\quad .\] Sommando membro a membro le quattro disuguaglianze si ottiene: \[AC+DB+AC+DB<AB+BC+BC+DC+DC+AD+AD+AB\] cioè: \[2\left( AC+DB \right)<2\left( AB+BC+DC+AD \right)=2p\Rightarrow AC+DB<p\]C.V.D.
Il resto della tesi si ottiene considerando le disuguaglianze fondamentali nei triangoli \(OBC\), \(OCD\), \(ODA\), \(OAB\), essendo \(O\) l’intersezione delle diagonali \(AC\) e \(DB\): \[OD+OC>DC\quad OC+OB>BC\quad OB+OA>AB\quad OA+OD>AD\quad .\] Sommando membro a membro: \[OD+OC+OC+OB+OB+OA+OA+OD>DC+BC+AB+AD\]da cui: \[2\left( OD+OC+OB+OA \right)>2p\Rightarrow AC+DB>p\]C.V.D.
Infine, dalle disuguaglianze \[AC<AB+BC\quad AC<AD+DC\quad DB<BC+DC\quad DB<AD+AB\]si ricava, sommando membro a membro: \[2AC+2DB<2\left( AB+BC+AD+DC \right)\Rightarrow AC+DB<p\] C.V.D.
Nel caso c), basta osservare che, in generale, un triangolo interno ad un altro ha perimetro minore di questo; in particolare, possiamo verificare nel nostro caso la seguente disuguaglianza, con riferimento alla figura: \[AP+BP<AP+PD+DB<CA+CD+DB\Rightarrow AP+BP<CA+BC\] avendo fatto uso delle disuguaglianze triangolari \(PB<PD+DB\) e \(AD<AC+CD\). Poiché, in modo del tutto simile, possiamo ottenere le disuguaglianze \(BP+PC<AB+CA\) e \(CP+PA<AB+BC\), sommando le tre disuguaglianze membro a membro otteniamo: \[2\left( AP+BP+CP \right)<2\left( AB+BC+CA \right)\Rightarrow AP+BP+CP<AB+BC+CA\] C.V.D.
Massimo Bergamini