Ricevo da Maria Antonella la seguente domanda:
Buonasera Professore,
ho questo quesito che dovrei dimostrare, mi aiuta?
Verificare che tutte le curve di equazione \(ax^3+bx^2+cx+d\) con \(a\neq 0\) (cubiche) hanno uno e un solo punto di flesso. Dimostrare che il flesso è ascendente se \(a>0\) mentre il flesso è discendente se \(a<0\). Dimostrare infine che tali curve sono tutte simmetriche rispetto al loro punto di flesso.
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Antonella,
essendo \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\) una funzione continua e derivabile in tutto l’insieme \(\mathbb{R}\), la condizione necessaria e sufficiente perché si abbia in \(x\) un punto di flesso per il suo grafico è che la derivata seconda in \(x\) sia nulla, assumendo segni opposti in intorni unilaterali di \(x\), cioè che si abbia in \(x\) un cambio di concavità della curva stessa. Poiché: \[f'\left( x \right)=3a{{x}^{2}}+2bx+c\to f''\left( x \right)=6ax+2b\] è evidente che nel punto di ascissa \(x=-\frac{b}{3a}\) la derivata seconda si annulla, e la concavità passa da “giù” a “su” attraversando da sinistra a destra tale punto (cioè \(f’’\) da negativa diventa positiva) se \(a>0\) (flesso ascendente), viceversa da “sù” a “giù” (flesso discendente) se \(a<0\), come volevasi dimostrare.
Riguardo alla simmetria, resta da verificare che la trasformazione \[\left\{\begin{array}{ll} x'=2x_0-x \\ y’=2y_0-y \end{array} \right.\] dove \(x_0=-b/(3a)\) e \(y_0=f(x_0)\), lascia unita l’equazione \(y=ax^3+bx^2+cx+d\): \[2a{{\left( -\frac{b}{3a} \right)}^{3}}+2b{{\left( -\frac{b}{3a} \right)}^{2}}+2c\left( -\frac{b}{3a} \right)+2d-y=a{{\left( -\frac{2b}{3a}-x \right)}^{3}}+b{{\left( -\frac{2b}{3a}-x \right)}^{2}}+c\left( -\frac{2b}{3a}-x \right)+d\Rightarrow \] \[\Rightarrow y=-\frac{2{{b}^{3}}}{27{{a}^{2}}}+\frac{2{{b}^{3}}}{9{{a}^{2}}}-\frac{2bc}{3a}+2d+a{{x}^{3}}+\frac{8{{b}^{3}}}{27{{a}^{2}}}+2b{{x}^{2}}+\frac{4{{b}^{2}}}{3a}x-b{{x}^{2}}-\frac{4{{b}^{3}}}{9{{a}^{2}}}-\frac{4{{b}^{2}}}{3a}x+cx+\frac{2bc}{3a}-d\Rightarrow \] \[\Rightarrow y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\]
come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini