Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
non ho capito questo quesito:
Dato un quadrato \(ABCD\) di lato \(a\) prolungare \(AD\) oltre \(D\) di un segmento \(DE=AD\). Preso sul lato \(CD\) un punto \(P\) ed indicata con \(L\) l’intersezione della retta \(PE\) con il lato \(AB\), esprimere in funzione di \(x=DP\) il rapporto \((DL^2+BL^2)/(4PL^2+2AB^2+AL^2)\) e rappresentare la funzione cosi ottenuta. Detrminare inoltre la posizione del punto \(P\) per cui l’area del triangolo \(ELH\), con \(H\) proiezione di \(L\) sul segmento \(BE\), risulti uguale a \(\frac{9}{20}{{a}^{2}}\). Riferendosi alla posizione di \(P\) determinata nel caso precedente, calcolare l’area della superficie \(S\) ed il volume \(V\) del solido ottenuto facendo ruotare di un giro completo attorno alla retta passante per \(E\) e parallela ad \(AB\) il pentagono \(EPCBA\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
innanzitutto osserviamo che, affinchè \(L\) possa avere una proiezione sul segmento \(BE\), è necessario che \(L\) appartenga al segmento \(AB\), e questo si verifica solo se \(P\) risulta compreso tra \(D\) e \(M\), essendo \(M\) il punto medio del lato \(DC\); pertanto si ha \(0\leq x\leq a/2\). Per il teorema di Talete, si ricava subito che \(AL=2DP=2x\), per cui, utilizzando il teorema di Pitagora: \[DL=\sqrt{{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}\quad PL=EP=\sqrt{{{a}^{2}}+{{x}^{2}}}\quad BL=a-2x\quad AB=a\quad AL=2x\] e la funzione cercata è quindi: \[f\left( x \right)=\frac{{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}+{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}-4ax}{4{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}+2{{a}^{2}}+4{{x}^{2}}}=\frac{4{{x}^{2}}-2ax+{{a}^{2}}}{4{{x}^{2}}+3{{a}^{2}}}\quad .\] La funzione, al di là dei limiti geometrici del problema, è definita per ogni \(x\) reale, sempre positiva, tendente asintoticamente al valore \(1\), con un minimo relativo nell’intervallo di interesse, per \(x\approx 0,32\).
Possiamo ricavare l’area \({{S}_{ELH}}\) del triangolo \(ELH\) in funzione di \(x\) per sottrazione: \[{{S}_{ELH}}={{S}_{EAB}}-{{S}_{EAL}}-{{S}_{LHB}}={{a}^{2}}-2ax-\frac{{{\left( a-2x \right)}^{2}}}{5}\] avndo fatto uso della similitudine tra il triangolo \(LHB\) e il triangolo \(EAB\), per cui, posto \(y=HB=LH/2\), si ha \(5y^2=(a-2x)^2\), da cui \({S}_{LHB}=y^2=(a-2x)^2/5\). Pertanto: \[{{S}_{ELH}}=\frac{9}{20}{{a}^{2}}\leftrightarrow \frac{2\left( 2{{a}^{2}}-2{{x}^{2}}-3ax \right)}{5}=\frac{9}{20}{{a}^{2}}\to 16{{x}^{2}}+24ax-7{{a}^{2}}=0\to x=\frac{a}{4}\vee x=-\frac{7}{4}a\] da cui la sola soluzione accettabile \(x=a/4\). Infine, per ricavare superficie e volume del solido di rotazione, si osservi che questo è ottenibile sottraendo ad un cilindro di altezza \(a\) e raggio di base \(2a\) un cilindro concentrico di altezza \(3a/4\) e raggio di base \(a\) e un cono di altezza \(a/4\) e raggio di base \(a\): \[V=\frac{19}{6}\pi {{a}^{3}}\quad \quad S=\frac{60+\sqrt{17}}{4}\pi {{a}^{2}}\quad \quad .\]
Massimo Bergamini