Ricevo da Francesca la seguente domanda:
Salve Professore,
mi hanno dato questa applicazione sul teorema di Lagrange, ma non so da dove partire!
Si dimostri, utilizzando il teorema di Lagrange, che \(\left| \sin \alpha -\sin \beta \right|\le \left| \alpha -\beta \right|\) per ogni \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\).
Le rispondo così:
Cara Francesca,
dopo aver osservato che la funzione \(f\left( x \right)=\sin x\) soddisfa le ipotesi del teorema di Lagrange in qualsiasi intervallo \(\left[ \alpha ,\beta \right]\) chiuso e limitato (continua nel chiuso, derivabile almeno nell’aperto), si deduce che, per ogni \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}\), esiste almeno un \(x\), con \(\alpha <x<\beta\), tale che: \[\frac{\sin \beta -\sin \alpha }{\beta -\alpha }=\left( \sin x \right)'=\cos x\] da cui: \[\left| \frac{\sin \beta -\sin \alpha }{\beta -\alpha } \right|=\frac{\left| \sin \alpha -\sin \beta \right|}{\left| \alpha -\beta \right|}=\left| \cos x \right|\le 1\Rightarrow \left| \sin \alpha -\sin \beta \right|\le \left| \alpha -\beta \right|\]come volevasi dimostrare.
Massimo Bergamini