Ricevo da Mari la seguente domanda:
Gentilissimo Professor Bergamini,
non riesco a fare il seguente limite (vol.W, pag.163, n1 del questionario): \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos \frac{{{x}^{2}}}{x+1}}{{{\ln }^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1} \right)}\frac{{{e}^{\sin x}}-1}{3x}\quad .\] La seconda frazione mi dà limite \(1/3\) (ho fatto ricorso a due limiti notevoli, è giusto?) ma nella prima frazione applicando il teorema di de l’Hopital non ottengo niente.
Mi aiuta, per favore? Grazie.
Le rispondo così:
Cara Mari,
non è necessario ricorrere a de l’Hopital, bastano alcune forme notevoli di infinitesimo, e la composizione di funzioni: \[\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{1-\cos \frac{{{x}^{2}}}{x+1}}{{{\ln }^{2}}\left( \frac{{{x}^{2}}+x+1}{x+1} \right)}\frac{{{e}^{\sin x}}-1}{3x}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\cos \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right){{\left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}^{2}}}{{{\left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}^{2}}{{\ln }^{2}}\left( 1+\frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}\frac{\sin x\left( {{e}^{\sin x}}-1 \right)}{x\sin x}=\]\[=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( 1-\cos \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}{{{\left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}^{2}}}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\left( \frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}^{2}}}{{{\ln }^{2}}\left( 1+\frac{{{x}^{2}}}{x+1} \right)}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}\cdot \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{\sin x}}-1}{\sin x}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{6}\quad .\] Massimo Bergamini