Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro profesore,
non riesco a capire questo quesito:
Un rettangolo \(PQRS\) è inscritto in un quadrato \(ABCD\) di lato unitario. Detto \(P\) il vertice del rettangolo che appartiene al lato \(AB\) e \(S\) il vertice che appartiene al lato \(AD\) e posto \(AP=x\) e \(AS=y\), dimostra che \(PQRS\) è un rettangolo se e solo se \(x=y\) o \(x=1-y\) ; verifica poi che \(PQRS\) diventa un quadrato nel secondo caso. Determina infine le lunghezze dei lati del rettangolo in modo che la sua area sia uguale a \(k\).
Grazie
Le rispondo così:
Cara Elisa,
la condizione che deve essere soddisfatta affinchè il quadrilatero inscritto \(PQRS\) sia un rettangolo equivale alla richiesta che i quattro triangoli rettangoli che completano il quadrato risultino simili, e a due a due congruenti (quelli aventi per ipotenusa una coppia di lati opposti del rettangolo); in particolare, ad esempio, i triangoli \(SAP\) e \(PBQ\), il che comporta la proporzione:
\[AP:SA=QB:PB\to \frac{x}{y}=\frac{1-y}{1-x}\to x-{{x}^{2}}=y-{{y}^{2}}\to \left( x-y \right)\left( x+y-1 \right)=0\to y=x\vee y=1-x\] come dovevasi dimostrare. Nel secondo caso, i quattro triangoli rettangoli complementari al rettangolo inscritto hanno tutti e quattro cateti \(x\) e \(1-x\), cioè sono fra loro congruenti, per cui \(PQRS\) è un quadrato; questo si verifica anche nel primo caso in corrispondenza solamente ad un preciso valore di \(x\), cioè \(x=1/2\).
Poiché l’area \(S\) di \(PQRS\) è pari all’area di \(ABCD\) privata dell’area dei quattro triangoli rettangoli, possiamo ricavare \(S\) in funzione di \(x\) nei due casi in questo modo: \[y=x\to S\left( x \right)=1-\left( {{x}^{2}}+{{\left( 1-x \right)}^{2}} \right)=2x-2{{x}^{2}}\] \[y=1-x\to S\left( x \right)=1-2x\left( 1-x \right)=2{{x}^{2}}-2x+1\] e pertanto, posta uguale a \(k\) tale area, si hanno due problemi parametrici, definiti dalle seguenti equazioni: \[2{{x}^{2}}-2x+k=0\quad \quad 2{{x}^{2}}-2x+1-k=0\quad \quad 0\le x\le 1\quad .\] Impostando un modello geometrico-analitico delle due equazioni (intersezione parabola \(y=x^2\) con fascio improprio di rette), si mostra che nel primo caso il problema ammette due soluzioni per ogni valore di \(k\) tale che \(0\leq k \leq 1/2\), mentre nel secondo caso il problema ammette due soluzioni per ogni valore di \(k\) tale che \(1/2\leq k \leq 1\). Nel primo caso la soluzione è data da \(x=\left( 1-\sqrt{1-2k} \right)/2\), nel secondo da \(x=\left( 1-\sqrt{2k-1} \right)/2\), e le misure dei lati sono, rispettivamente: \[SP=QR=\sqrt{2}x=\frac{\sqrt{2}\left( 1-\sqrt{1-2k} \right)}{2}\quad \quad PQ=SR=\sqrt{2}\left( 1-x \right)=\frac{\sqrt{2}\left( 1+\sqrt{1-2k} \right)}{2}\] \[SP=QR=PQ=SR=\sqrt{2{{x}^{2}}-2x+1}=\sqrt{k}\quad .\]
Massimo Bergamini