MyZanichelli - la tua chiave digitale. Registrati per accedere alle risorse online di Zanichelli Editore
 
Entra
Stai consultando l'archivio di Scienze. Visita la nuova Aula di Scienze!
Zanichelli Editore
Aula di Scienze
  • Home Page
  • Menù
  • Novità
Zanichelli - Aula di scienze
  • Home
  • Per saperne di più
  • News
  • I Blog di Aula di Scienze
  • Idee per insegnare
  • L'esperto risponde
    • L'esperto di matematica
    • L'esperto di fisica
    • L'esperto di chimica
  • La Redazione

Archivio per data

  • Giugno 2013
  • Maggio 2013
  • Aprile 2013
  • Marzo 2013
  • Febbraio 2013
  • Gennaio 2013
  • Dicembre 2012
  • Novembre 2012
  • Ottobre 2012
  • Settembre 2012
  • Giugno 2012
  • Maggio 2012
  • Aprile 2012
  • Marzo 2012
  • Febbraio 2012
  • Gennaio 2012
  • Dicembre 2011
  • Novembre 2011
  • Ottobre 2011
  • Settembre 2011
  • Giugno 2011
  • Maggio 2011
  • Aprile 2011
  • Marzo 2011
  • Febbraio 2011
  • Gennaio 2011
  • Dicembre 2010
  • Novembre 2010
  • Ottobre 2010
  • Settembre 2010
  • Luglio 2010
  • Giugno 2010
  • Maggio 2010
  • Aprile 2010
  • Marzo 2010
  • Febbraio 2010
  • Gennaio 2010
  • Dicembre 2009
  • Novembre 2009
  • Ottobre 2009
  • Luglio 2009
  • Giugno 2009
  • Maggio 2009
  • Aprile 2009
  • Marzo 2009
  • Febbraio 2009

I tag più utilizzati dall'esperto

  • analisi infinitesimale
  • derivate
  • limiti
  • goniometria
  • studio di funzione
  • geometria solida
  • trigonometria
  • circonferenza
  • equazioni parametriche
  • parabola

Aggiornamenti

  • RSS L'esperto risponde
IdeeLIM - Idee per insegnare con la Lavagna Interattiva Multimediale
Spazio CLIL - Content and Language Integrated Learning
Home Scuola Aula Scienze L’esperto risponde - Matematica

Sul teorema di de l’Hopital nel calcolo di limiti

Sul teorema di de l’Hopital nel calcolo di limiti

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 28 Febbraio 2013
Gentile professore,
nella risposta al quesito 10 sessione ordinaria (ordinamento) del 2001 si dice che il limite \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sin x}{x-\sin x}\] può essere trattato nella forma \(+\infty/+\infty\), ma come è possibile se il limite di \(\sin x\) (e di  \(\cos x\)) per \(x\) che tende a infinito non esiste? (Il teorema de l’Hopital non può comunque essere usato per altra ragione che viene spiegata, ma non bastava dire che la forma \(+\infty/+\infty\) non è verificata?)
Grazie.
 
Le rispondo così:
 
Cara Mari,
attenzione, non è affatto vero che non si abbia la forma \(+\infty/+\infty\) nel limite in questione. Forse bisogna chiarire bene una cosa: non è affatto detto che, date due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) tali che per una o anche entrambe non esista il limite per \(x\) che tende a \(x_0\), allora non debba necessariamente esistere il limite per \(x\) che tende a \(x_0\) della funzione \(f(x)+g(x)\)! Esempio banale: \(f(x)=\sin x\), \(g(x)=-\sin x\) non ammettono limite per \(x\) che tende a \(+\infty\), ma ovviamente la funzione \(f(x)+g(x)=\sin x-\sin x=0\) ammette limite, \(0\), per \(x\) che tende a \(+\infty\)! Nel nostro caso, è facile dimostrare, con il teorema del confronto, che le funzioni \(x+\sin x\) e \(x-\sin x\) ammettono limite \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), essendo, per ogni \(x\), \(x-1\leq x\pm\sin x\leq x+1\): poiché \(x-1\) e \(x+1\) tendono entrambe a \(+\infty\) per \(x\) che tende a \(+\infty\), lo stesso fanno le funzioni \(x+\sin x\) e \(x-\sin x\). Quindi, in linea di principio, sarebbe applicabile il teorema di de l’Hopital, ma purtroppo in questo caso non è proprio d’aiuto; passando al limite del rapporto delle derivate, si scopre che tale limite, questo sì, non esiste!  \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1+\cos x}{1-\cos x}=\frac{?}{?}\] Dobbiamo forse concludere che allora non esiste il limite che stavamo cercando? Sbagliato! Il teorema di de l’Hopital fornisce una condizione sufficiente, non necessaria, per l’esistenza di tale limite: può ben darsi quindi, ed è questo il caso, che il limite del rapporto che vogliamo calcolare esista ma che non possa essere ricavato dal limite del rapporto delle derivate dei termini del rapporto stesso, che può non esistere: \[\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sin x}{x-\sin x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\left( 1+\frac{\sin x}{x} \right)}{x\left( 1-\frac{\sin x}{x} \right)}=\frac{1+0}{1+0}=1\] dove si è nuovamente fatto uso del teorema del confronto per affermare che \[-\frac{1}{x}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{x}\wedge \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\pm 1}{x}=0\Rightarrow \underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin x}{x}=0\quad .\]
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, infinito, limiti, Teorema di De L'Hopital


© 2008 - 2022 Zanichelli Editore SpA - P. I. 03978000374 - C. F. e N. I. Registro delle Imprese 08536570156 - R.E.A. n.329604
Progetto e sviluppo web duDAT Srl