Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
la prego di aiutarmi e capire questo quesito:
Nel triangolo \(ABC\) rettangolo in \(B\) la retta condotta per l’incentro \(O\) parallelamente al cateto \(BC\) interseca \(AB\) nel punto \(T\) che dista \(30\) da \(A\), ed \(AC\) nel punto \(D\) che dista \(50\) da \(A\). Determinare perimetro del triangolo \(ABC\) e area della superficie del solido che si ottiene facendo ruotare di \(180^\circ\) attorno ad \(AC\) il trapezio \(BCDT\).
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, abbiamo subito (Pitagora) che \(TD=40\), per cui, per similitudine, \(EC=20\), \(r=15\), \(DC=25\), da cui \(2{{p}_{ABC}}=180\).
La superficie \(S\) del solido di rotazione è composta da tre elementi: la superficie laterale \(S_1\) di un cono di apotema \(BC=60\) e raggio di base \(BF=36\), la superficie laterale \(S_2\) di un cono di aptema \(TD=40\) e raggio di base \(TG=24\), la superficie laterale \(S_3\) di un tronco di cono con apotema \(TB=15\) e raggi di base \(BF=36\) e \(TG=24\): \[S={{S}_{1}}+{{S}_{2}}+{{S}_{3}}=36\cdot 60\pi +24\cdot 40\pi +\left( 36+24 \right)15\pi =4020\pi \quad .\] Massimo Bergamini