Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
ho questo problema:
tra i solidi composti da un tetraedro sovrapposto a un prisma retto di ugual base triangolare in modo che la somma delle altezze dei due solidi sia costante e valga \(k\), determinare quello di volume massimo.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
con riferimento alla figura, se poniamo \(x=GV\) l’altezza del tetraedro, con \(0\leq x \leq k\), abbiamo che \(GF=k-x\) è l’altezza del prisma. Poiché l’altezza \(GV\) del tetraedro si può vedere come cateto del triangolo rettangolo \(HGV\), essendo \(HG\) un terzo di \(HC’=HV\), a sua volta pari a \(\sqrt{3}/2\) volte il lato \(l\) del tetraedro, si ha \(x=VG=\sqrt{6}l/3\), da cui \(l=\sqrt{6}x/2\). Pertanto, l’area \(S(x)\) della base comune ai due solidi è \(S=3\sqrt{3}{{x}^{2}}/8\), e il volume \(V(x)\), di conseguenza, è dato da: \[V\left( x \right)=\frac{xS\left( x \right)}{3}+\left( k-x \right)S\left( x \right)=\frac{3\sqrt{3}}{8}k{{x}^{2}}-\frac{\sqrt{3}}{4}{{x}^{3}}\] per cui, derivando la funzione \(V(x)\) e studiando zeri e segno della derivata, si ottiene: \[V'\left( x \right)=\frac{3\sqrt{3}x\left( k-x \right)}{4}\to V'\left( x \right)>0\quad \forall x\in \left] 0,k \right[,\quad V'\left( x \right)=0\quad se\ x=0\vee x=k\quad .\]
Concludiamo che il massimo per il volume \(V(x)\) si realizza se \(x=k\), cioè se il solido si riduce al solo tetraedro.
Massimo Bergamini