Ricevo da Jessica la seguente domanda:
Buongiorno Professore!
Io di questo esercizio non ho capito proprio nulla, neanche la figura!
Sono date due semicirconferenze di raggio \(R\) e \(r\) (\(R\)>\(r\)) e di diametro rispettivamente \(AB\) e \(AC\), tangenti internamente in \(A\). Determinare un punto \(P\) sulla semicirconferenza maggiore in modo che, detto \(Q\) il punto ove la corda \(AP\) incontra la circonferenza minore, sia massimo il rettangolo di \(PB\) e \(PQ\).
Grazie.
Le rispondo così:
Cara Jessica,
con riferimento alla figura, posto \(x=P\hat{A}B\), si osserva che i triangoli \(PAB\) e \(QAC\) sono entrambi rettangoli, e si ottiene: \[PB=AB\sin x=2R\sin x\quad PQ=PA-QA=2\left( R-r \right)\cos x\] per cui l’area \(S(x)\) del rettangolo di lati \(PB\) e \(PQ\) è data da \(S\left( x \right)=4R\left( R-r \right)\sin x\cos x=2R\left( R-r \right)\sin 2x\); derivando e analizzando la derivata si ottiene il massimo cercato: \[S'\left( x \right)=4R\left( R-r \right)\cos 2x\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=\frac{\pi }{4},S'\left( x \right)>0\leftrightarrow x<\frac{\pi }{4}\] cioè il massimo si verifica se \(P\) corrisponde al punto medio dell’arco \(AB\).
Massimo Bergamini