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Una piramide di minima superficie

Una piramide di minima superficie

Disciplina: Matematica Analisi 
di Massimo Bergamini, 28 Marzo 2013
Ricevo da Elisa la seguente domanda:
 
Caro professore,
dato un cono di vertice \(V\) avente altezza e raggio di base unitari, sia \(O\) il centro della circonferenza di base e \(AB\) una sua corda.  Determinare la distanza \(x\) di \(AB\) da \(O\) in modo che la piramide \(OABV\) abbia superficie massima.
Grazie mille.
 
Le rispondo così:
 
Cara Elisa,
posto \(x=OH\) (\(0\leq x\leq 1\)), con \(OH\) perpendicolare alla corda \(AB\), si ha \(AB=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) e \(VH=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\), per cui le facce della piramide hanno le seguenti superfici: \[{{S}_{ABV}}=\sqrt{1-{{x}^{4}}}\quad {{S}_{OAV}}={{S}_{OBV}}=\frac{1}{2}\quad {{S}_{OAB}}=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\] per cui la superficie totale è data dalla funzione \(S\left( x \right)=\sqrt{1-{{x}^{4}}}+x\sqrt{1-{{x}^{2}}}+1\). Deriviamo: \[S'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{3}}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{-2{{x}^{3}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}-{{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}\] per cui \[S'\left( x \right)=0\leftrightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}}{1-2{{x}^{2}}}\to 1-3{{x}^{2}}=0\to x=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad .\] Tale valore di \(x\) rappresenta una soluzione accettabile dell’equazione e, come si può verificare analizzando il segno della derivata in un suo intorno, realizza il massimo relativo cercato.
 
Massimo Bergamini
Tag: analisi infinitesimale, cono, derivate, geometria solida, piramide, problemi max/min


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