Ricevo da Elisa la seguente domanda:
Caro professore,
dato un cono di vertice \(V\) avente altezza e raggio di base unitari, sia \(O\) il centro della circonferenza di base e \(AB\) una sua corda. Determinare la distanza \(x\) di \(AB\) da \(O\) in modo che la piramide \(OABV\) abbia superficie massima.
Grazie mille.
Le rispondo così:
Cara Elisa,
posto \(x=OH\) (\(0\leq x\leq 1\)), con \(OH\) perpendicolare alla corda \(AB\), si ha \(AB=2\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) e \(VH=\sqrt{1+{{x}^{2}}}\), per cui le facce della piramide hanno le seguenti superfici: \[{{S}_{ABV}}=\sqrt{1-{{x}^{4}}}\quad {{S}_{OAV}}={{S}_{OBV}}=\frac{1}{2}\quad {{S}_{OAB}}=x\sqrt{1-{{x}^{2}}}\] per cui la superficie totale è data dalla funzione \(S\left( x \right)=\sqrt{1-{{x}^{4}}}+x\sqrt{1-{{x}^{2}}}+1\). Deriviamo: \[S'\left( x \right)=\frac{-2{{x}^{3}}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}+\sqrt{1-{{x}^{2}}}-\frac{{{x}^{2}}}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}}=\frac{-2{{x}^{3}}+\left( 1-{{x}^{2}} \right)\sqrt{1+{{x}^{2}}}-{{x}^{2}}\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{\sqrt{1-{{x}^{4}}}}\] per cui \[S'\left( x \right)=0\leftrightarrow \sqrt{1+{{x}^{2}}}=\frac{2{{x}^{3}}}{1-2{{x}^{2}}}\to 1-3{{x}^{2}}=0\to x=\frac{\sqrt{3}}{3}\quad .\] Tale valore di \(x\) rappresenta una soluzione accettabile dell’equazione e, come si può verificare analizzando il segno della derivata in un suo intorno, realizza il massimo relativo cercato.
Massimo Bergamini