Ricevo da Samuele la seguente domanda:
Caro professore,
ho trovato difficoltà a risolvere il seguente problema:
Dopo aver scritto l'equazione della circonferenza avente il centro \(C(x_C;-2)\) appartenente alla retta di equazione \(2x+y+4=0\) e tangente alla retta \(t:3x+4y-14=0\), determina:
a) il fascio di rette avente come sostegno il punto \(T\) di tangenza della circonferenza con la retta \(t\);
b) le rette del fascio che staccano sulla circonferenza una corda di lunghezza \(3\sqrt{10}\), e sia \(r\) quella avente coefficiente angolare maggiore;
c) un punto \(P\) in modo tale che il quadrilatero \(PTCR\) sia un rombo, con \(R\) ulteriore punto di intersezione della retta \(r\) con la circonferenza.
Grazie in anticipo per la risposta.
Gli rispondo così:
Caro Samuele,
posto che \(C\), dovendo appartenere alla retta \(2x+y+4=0\), ha coordinate \(C(-1,-2)\), ricaviamo il raggio della circonferenza richiesta come distanza tra \(C\) e la retta \(t\), ottenendo \(5\), per cui l’equazione della circonferenza è \({{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}=25\), cioè: \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2x+4y-20=0\). Ricaviamo poi \(T\) come unico punto della retta \(t\) che disti \(5\) da \(C\), cioè \(T(2,2)\). Il fascio di rette proprio di centro \(T\), scritto in forma esplicita, in modo che il parametro \(m\) sia il coefficiente angolare della retta del fascio, ha equazione: \(y=m\left( x-2 \right)+2\). Per ricavare le rette del fascio che staccano corde di lunghezza assegnata sulla circonferenza, si potrebbe procedere in modo diretto, ricavando in funzione di \(m\) le coordinate dell’ulteriore punto di intersezione tra retta e circonferenza, quindi imponendo che la distanza tra tale punto e \(T\) risulti pari al valore richiesto, cioè \(3\sqrt{10}\): per ragioni di simmetria, ed essendo tale valore minore della misura del diametro, si devono avere due valori di \(m\), cioè due rette del fascio, simmetriche rispetto al raggio \(CT\), che rispondono alla richiesta. Tale metodo è un po’ laborioso, e possiamo sostituirlo col seguente: ricaviamo l’equazione della circonferenza di centro \(t\) e raggio \(3\sqrt{10}\), cioè \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=90\to {{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4x-4y-82=0\), e ricaviamo le intersezioni \(S\) e \(R\) tra questa circonferenza e la circonferenza iniziale: le rette cercate sono le rette del fascio passanti per \(S\) e \(R\). Sottraendo le equazioni delle due circonferenze si ottiene l’equazione del loro asse radicale, \(3x+4y+31=0\), che intersecato con una di esse fornisce i seguenti punti: \(S\left( -29/5,-17/5 \right)\), \(R\left( -1,-7 \right)\); le rette del fascio che li contengono sono, rispettivamente: \(9x-13y+8=0\) e \(3x-y-4=0\), la seconda delle quali è la retta \(r\) con coefficiente angolare maggiore. Infine, il punto \(P\) che completa il rombo non è altro che il simmetrico di \(C\) rispetto alla retta \(r\), cioè \(P(2,-3)\), come si può determinare, ad esempio, imponendo alle coordinate di \(P\) due condizioni: l’appartenenza del punto medio del segmento \(PC\) alla retta \(r\), l’anti-reciprocità tra la pendenza del segmento \(PC\) e la pendenza di \(r\).
Massimo Bergamini