Ricevo da Ferdinando la seguente domanda:
Gentile professore,
incontro difficoltà nella discussione preliminare del seguente problema (N° 278, pag 1821 Matematica.blu 2.0):
Tra tutti i triangoli isosceli inscritti in una circonferenza di raggio \(r\), determina quello di area massima.
Grazie mille.
Gli rispondo così:
Caro Ferdinando,
con riferimento alla figura, possiamo considerare come variabile del problema l’altezza \(CH=x\) del triangolo \(ABC\); c’è infatti corrispondenza biunivoca tra i valori di \(x\) nell’intervallo \(0\leq x \leq 2r\) e i possibili triangoli isosceli inscritti aventi per asse un dato diamtero della circonferenza (tutti gli altri sono isometrici a questi, potendosi ottenere per opportuna rotazione). I casi limite \(x=0\) e \(x=2r\) corrispondono a due “triangoli” che degenerano rispettivamente in un punto e in un doppio segmento, entrambi quindi con area nulla. Applicando Pitagora al triangolo rettangolo \(BOH\), essendo \(HO=|x-r|\), si ottiene \(HB=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\), per cui l’area \(S(x)\) di \(ABC\) è \(S\left( x \right)=x\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}\). Deriviamo \(S(x)\) e ne studiamo zeri e segno: \[S'\left( x \right)=\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}+\frac{x\left( r-x \right)}{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}}=\frac{3rx-2{{x}^{2}}}{\sqrt{2rx-{{x}^{2}}}}\to S'\left( x \right)=0\leftrightarrow x=0\vee x=\frac{3}{2}r\quad .\] Il valore \(x=\frac{3}{2}r\) corrisponde al massimo cercato, come si può dedurre dall’analisi del segno di \(S’(x)\); il triangolo corrispondente è il triangolo equilatero inscritto nella circonferenza di raggio \(r\).
Massimo Bergamini